¿Por qué es [math] \ log_a {b} = \ frac {\ log {b}} {\ log {a}} [/ math]?

Answer 1

Deje definir [math] \ exp [/ math] como:

[matemáticas] \ def \ ass {\ mathrel {: =}} \ begin {array} {cccl} \ exp: & \ mathbb R & \ to & \ mathbb R \\ & x & \ mapsto & \ exp x \ ass \ displaystyle \ lim_ { n \ to \ infty} \ Bigl (1+ \ frac xn \ Bigr) ^ n \ end {array} [/ math]

Y definamos [matemáticas] e \ ass \ exp1 [/ matemáticas].

Se puede demostrar que para cualquier número entero positivo [matemática] m [/ matemática], [matemática] \ exp m = e ^ m [/ matemática], y que para cualquier valor real [matemática] a [/ matemática], entonces [ math] \ exp ma = (\ exp a) ^ m [/ math].

También se puede mostrar que para cualquier valor real [matemática] x [/ matemática], [matemática] \ exp x [/ matemática] es positiva y [matemática] \ expx [/ matemática] está aumentando de forma monótona, y puede tomar cualquier valor real positivo. Por lo tanto, [math] y = \ exp x [/ math] tiene una función inversa. Definamos esa función inversa como [math] \ ln \ ass \ exp ^ {- 1} [/ math].

[matemáticas] y = \ ln x \ iff x = \ exp y [/ matemáticas]

Esto nos permite definir el poder para cualquier valor real positivo [matemática] a [/ matemática], y cualquier real [matemática] x [/ matemática] como:

[matemáticas] \ def \ pow {\ operatorname {pow}} \ pow (a, x) = \ pow_ax \ ass \ exp (x \ cdot \ ln a) [/ math]

Por las propiedades de [math] \ exp [/ math] mencionadas anteriormente, se puede demostrar que para cualquier número entero positivo [math] n [/ math], [math] \ pow (a, n) = a ^ n [/ math ], y por lo tanto solo podemos escribir:

[matemáticas] a ^ x \ ass \ pow (a, x) = \ exp (x \ ln a) [/ matemáticas]

Y [math] a ^ x [/ math] (para un real positivo y [math] x [/ math] real) puede tomar cualquier resultado real positivo.

Entonces, si vemos [math] a ^ x [/ math] en función de [math] x [/ math], [math] a ^ x = \ pow_a (x) [/ math] debería haber un inverso. Llamemos a eso inverso [math] \ log_a [/ math].

[matemática] y = \ log_ax \ iff x = a ^ y = \ exp y \ ln a [/ math]

Entonces

\ begin {align *}
y & = \ log_a x \\
x & = \ exp y \ ln a \\
x & = \ exp (\ log_ax \ ln a) \\
\ ln x & = \ log_ax \ ln a && \ text {for} \ ln a \ neq0 \\
\ frac {\ ln x} {\ ln a} & = \ log_ax
\ end {align *}

(Para [math] \ ln a = 0 [/ math] , esto significa que [math] a = \ exp 0 [/ math] y [math] \ exp 0 = 1 [/ math] , dado que [math] \ forall y, 1 ^ y = 1 [/ math] , entonces [math] \ log_1 [/ math] no está definido.)

Entonces podemos definir [math] \ log_ab [/ math] en términos de [math] \ ln [/ math]:

[matemáticas] \ log_ab \ ass \ cfrac {\ ln b} {\ ln a} [/ matemáticas] (1)

Ahora, tomemos una base arbitraria, por ejemplo, base diez (solo porque contamos en base diez), y definamos:

[matemáticas] \ log x \ ass \ log_ {10} x [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] \ log x = \ cfrac {\ ln x} {\ ln10} [/ matemáticas]

Reemplazando en (1), tenemos:

[matemáticas] \ log_ab = \ cfrac {\ frac {\ ln b} {\ ln10}} {\ frac {\ ln a} {\ ln10}} = \ cfrac {\ log b} {\ log a} [/ math ]

QED

Answer 2

Hagamos algunas suposiciones, suponiendo que la base en el RHS es x, y que la función de logaritmo real se define para a, byx .

Esta prueba solo utiliza la definición de registros.

Formato deficiente, sugiera ediciones para la fuente MathJax.

[matemáticas] \ large \ text {Let $ r = \ log_ {a} x \ land s = \ log_ {b} x $.} \\ \ implica a ^ {r} = x \ land x = b ^ {s } \\ \ implica a ^ {r / s} = b \\ \ log_ {a} b = \ dfrac {r} {s} = \ dfrac {\ log_ {a} x} {\ log_ {b} x} \\ \ implica \ log_ {a} x = (\ log_ {b} x) \ cdot (log_ {a} b) \\ \ text {Sustituyendo $ x = a $, obtenemos} \\ \ log_ {a} b = \ dfrac {1} {\ log_ {b} a} \\ \ text {Usando nuestros dos resultados anteriores} \\ \ log_ {a} b = \ dfrac {\ log_ {x} b} {\ log_ { x} a} \ tag * {} [/ math]

Answer 3

Si [math] a ^ x = b [/ math], entonces tomando [math] \ log_a [/ math] de ambos lados tenemos [math] x = \ log_a {b} [/ math]

Sin embargo, si tomamos [math] \ log [/ math] de ambos lados tenemos [math] \ log {a ^ x} = \ log {b} [/ math]

[matemáticas] \ implica x \ log {a} = \ log {b} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = \ dfrac {\ log {b}} {\ log {a}} [/ matemáticas]

Y si sustituimos [math] x [/ math] desde el principio, tenemos:

[matemáticas] \ log_a {b} = \ dfrac {\ log {b}} {\ log {a}} [/ matemáticas]