Si a + b + c = 0, ¿cuál es el valor de a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ -3abc?

Answer 1

Creo que la pregunta es encontrar el valor de [matemáticas] a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} -3abc [/ matemáticas]

Si es así, entonces se puede hacer así

[matemáticas] a + b + c = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a + b = -c [/ matemáticas]

Cubicando ambos lados

[matemáticas] (a + b) ^ {3} = (- c) ^ {3} [/ matemáticas]

Aplicando [matemáticas] (a + b) ^ {3} = a ^ {3} + b ^ {3} + 3ab (a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {3} + b ^ {3} + 3ab (a + b) = – c ^ {3} [/ matemáticas]

Valor de [matemáticas] a + b = -c [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] a ^ {3} + b ^ {3} + 3ab (-c) = – c ^ {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {3} + b ^ {3} -3abc = -c ^ {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} -3abc = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la respuesta es [matemáticas] 0 [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3-3abc = (a + b + c) (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-ac-bc) [/ matemáticas]

Entonces, si [math] a + b + c = 0 [/ math], también lo hace la expresión original.

Quizás no quieras factorizar, o originalmente no conoces esta factorización, entonces

[matemáticas] a = -bc [/ matemáticas]

y sustituir en la expresión

[matemáticas] (- bc) ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3-3 (-bc) bc [/ matemáticas]

[matemáticas] = -b ^ 3 – 3b ^ 2c – 3bc ^ 2 – c ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3b ^ 2c + 3bc ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Answer 3

* A2A

Esta es una fórmula que vale la pena recordar para la Olimpiada de Matemáticas.

[matemáticas] \ boxed {a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3–3abc = (a + b + c) (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca)} \ tag * {}[/matemáticas]

La respuesta debería ser bastante obvia desde aquí.

Answer 4

deja a ser la variable

sea ​​f (a) = a³ + b³ + c³-3abc

∴- (b + c) se da como factor.

Expresión dada = {- (b + c)} ³ + b³ + c³-3bc {- (b + c)} = 0

Answer 5

Olvidaste el cubo para la c en la segunda expresión.

Como a + b + c es un factor, la expresión = 0