¿Qué se entiende en álgebra lineal cuando una función se define como un conjunto x (por ejemplo) ‘sobre’ y?

Answer 1

Dejar

[math] f: X \ longrightarrow Y [/ math] donde [math] X [/ math] y [math] Y [/ math] son ​​conjuntos.

Decimos que [math] f [/ math] es una función (o mapeo) sobre, o sobreyectiva si [math] \ forall y \ in Y \ quad \ exist x \ in X: f (x) = y [/ matemática] (que equivale a decir que cada elemento en [matemática] Y [/ matemática] es la imagen de algún elemento [matemática] x \ en X [/ matemática])

En el contexto del álgebra lineal, esta misma definición se aplica a las transformaciones lineales (asignaciones lineales) porque son funciones [matemáticas] f [/ matemáticas] de la siguiente forma:

[matemática] f: X \ longrightarrow Y [/ matemática] donde [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática] son ​​espacios vectoriales sobre un campo [matemática] K [/ matemática]

y que tienen las siguientes dos propiedades:

[matemática] f (x + y) = f (x) + f (y) [/ matemática] para [matemática] x \ en X [/ matemática] y [matemática] y \ en Y [/ matemática]

[matemática] f (kx) = kf (x) [/ matemática] para [matemática] x \ en X [/ matemática] y [matemática] k \ en K [/ matemática]

Entonces, en inglés, una transformación lineal es sobreyectiva si para todos los vectores en el espacio vectorial [matemática] Y [/ matemática], existe un vector en el espacio vectorial [matemática] X [/ matemática] que se mapea por [matemática] f [/ math] a un vector en [math] Y [/ math].

Answer 2

Deje que [math] f: X \ to Y [/ math] sea cualquier función, entonces [math] f [/ math] está activado si por cada [math] y \ en Y [/ math] hay al menos un [math ] x \ en X [/ math] tal que [math] f (x) = y [/ math].

Como nota, en matemáticas generalmente se usan letras mayúsculas para denotar conjuntos

Answer 3

Significa que, le da un elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X.

Por ejemplo, deje que el conjunto X sean los números naturales, y deje que el conjunto Y sean los números impares. Entonces, la función y = 2x + 1 es una función de X a Y, porque da un número impar (es decir, elemento de Y) a cada número natural (elemento de X).

Answer 4

Una función de X a Y es una función que, cuando se le da cualquier elemento del conjunto X como entrada, siempre producirá un elemento del conjunto Y como resultado.