Un número cuadrado tiene cuatro dígitos. Cuando cada dígito se incrementa en 1, se forma otro número cuadrado. ¿Cuáles son los dos números cuadrados?

Answer 1

Entonces, lo que sabemos es que estamos trabajando con dos cuadrados de cuatro dígitos, llámelos [matemática] a ^ 2 [/ matemática] y [matemática] b ^ 2 [/ matemática]. Además, cada dígito de [matemáticas] a ^ 2 [/ matemáticas] es igual a cada dígito de [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas] más uno. Como se trata de números de 4 dígitos, sabemos que [matemáticas] a ^ 2 = b ^ 2 + 1111. [/ Matemáticas] Por lo tanto, [matemáticas] a ^ 2-b ^ 2 = 1111. [/ Matemáticas] Esa es solo la diferencia de dos cuadrados, lo que significa que [matemáticas] (a + b) (ab) = 1111. [/ matemáticas] Como 1111 solo tiene dos divisores distintos de sí mismo y uno, tenemos el sistema de ecuaciones

[matemáticas] a + b = 101 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = 11 [/ matemáticas].

Resolver eso no es demasiado difícil. Resuelve una ecuación en una y conéctala a la otra, y encontrarás que [matemáticas] b = 45 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 56 [/ matemáticas].

Podemos verificar eso fácilmente.

[matemáticas] 45 ^ 2 = 2025 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2025 + 1111 = 3136 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3136 = 56 ^ 2. [/ matemáticas]

Entonces nuestra respuesta se verifica. Espero que haya ayudado.

Answer 2

En general, cualquier número impar será la diferencia entre dos cuadrados consecutivos de enteros:

[matemáticas] (n + 1) ^ 2 – n ^ 2 = n ^ 2 + 2n + 1 – 2 ^ n = 2n + 1 [/ matemáticas]

que es un número impar (que incidentalmente cubre todos los números impares) para todos los n.

en este caso

[matemáticas] n = (((n – 1) / 2) + 1) ^ 2 – ((n – 1) / 2) ^ 2 [/ matemáticas]

por impar n.

Encuentro 2 soluciones hasta 10,000,000:

[matemáticas] 56 ^ 2 – 45 ^ 2 = 1111 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] 556 ^ 2 – 555 ^ 2 = 1111 [/ matemáticas]

con este programa de python

def resolver (n, t):

resultado = []

para i en rango (0, n):
para j en el rango (i + 1, n):
a = j ** 2 – i ** 2 si a> t:
rotura;

si a == t:
resultado.append ((i, j))

resultado devuelto

if __name__ == ‘__main__’:
b = 10000000
objetivo = 1111
resultado = resolver (b, objetivo)

print (‘Soluciones debajo de {}’. formato (b))
para (i, j) en resultado:
print (‘{} ** 2 – {} ** 2 = {}’. format (j, i, target))

Cuando aplicamos la limitación de 4 dígitos obtenemos

[matemáticas] 56 ^ 2 – 45 ^ 2 = 1111 [/ matemáticas]

Muy interesante para mí que hay 2 soluciones en el rango [0, 10,000,000]

Answer 3

Deje que los dos cuadrados sean [matemática] a ^ 2 [/ matemática] y [matemática] b ^ 2 [/ matemática].

Se nos dice [matemáticas] b ^ 2-a ^ 2 = 1111 [/ matemáticas]. Afortunadamente, podemos factorizar ambos lados de esta ecuación para obtener:

[matemáticas] \ quad (ba) \ veces (b + a) = 11 \ veces101 [/ matemáticas]

Tanto [math] 11 [/ math] como [math] 101 [/ math] son ​​primos, por lo que la factorización es esencialmente única [1] (aunque debemos tener en cuenta que [math] 1 \ times1111 [/ math] no da un valor adecuado solución).

Por lo tanto, podemos deducir que [matemática] a = \ frac {101-11} {2} = 45 [/ matemática] y [matemática] b = \ frac {101 + 11} {2} = 56 [/ matemática], dando:

• [matemáticas] a ^ 2 = 2025 [/ matemáticas]
• [matemáticas] b ^ 2 = 3136 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Notas al pie

[1] Teorema fundamental de la aritmética – Wikipedia

Answer 4

Si quisiéramos encontrar dos cuadrados diferentes que difieran entre sí en 1111, podríamos comenzar observando los patrones de los dígitos finales:

Cada cuadrado termina con 0, 1, 4, 5, 6 o 9

Entonces, sabemos que los dígitos finales deben ser (9 y 0), (0 y 1), (4 y 5) o (5 y 6)

Pero podríamos observar que cada número cuadrado termina con 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 y 96

¿Qué números en esta lista son 11 separados? 25 y 36; y recordando que los números terminan, 89 y 00.

Entonces, solo necesitamos verificar los números que tienen cuadrados que terminan en 25 y 36; y cuadrados que terminan en 89 y 00.

Por lógica, sabemos que debemos comenzar a verificar cuadrados en 32, porque 31² tiene solo tres dígitos de largo.

Por prueba y error, podemos eliminar rápidamente los cuadrados que terminan con 00. Esos cuadrados son 1600, 2500, 3600, 4900, 6400 y 8100. Cuando restamos 1111 de cada uno de estos números, obtenemos 489, 1389, 3489, 3789 , 5289 y 6999. Es fácil reconocer que estos no son cuadrados perfectos si ha intentado memorizar algunos de los cuadrados.

Te dejaré hacer el resto de la prueba y error.

(O podría mirar el mensaje de otra persona que simplemente le da la respuesta).

O … podría pedirle ayuda a su calculadora gráfica. ¿Sabía que puede escribir programas de computadora en la mayoría de las calculadoras gráficas?

Aquí hay una computadora que escribí en la calculadora gráfica Texas Instruments TI-84 PLUS CE

Realmente calcula el cuadrado de cada número de 32² a 99², agrega 1111 a ese número, luego verifica si ese número es un cuadrado perfecto. Si ve que es un cuadrado perfecto, muestra los cuatro números relevantes

Espero que decidas ejecutar esto en tu calculadora. Podría interesarle aprender más sobre programación. Pero si solo desea copiar la respuesta en su papel, puede verla en la captura de pantalla de la derecha.

Answer 5

Supongamos que a ^ 2 y b ^ 2 son dos números cuadrados.

b ^ 2-a ^ 2 = 1111

(ba) (b + a) = 1111 = 11 * 101

ba = 11

b + a = 101

b = 56

a = 45

a ^ 2 = 2025

b ^ 2 = 3136

Answer 6

Deje que los números sean a² y b²

según la pregunta

b²-a² = 1111

(b + a) (ba) = 101 * 11

entonces b + a = 101 & ba = 11

sumando ambos obtenemos

2b = 112, b = 56 y a = 45

Primer número = 45² = 2025

Segundo número = 56² = 3136

Ans

Answer 7

Los números son 45 y 56.

[matemáticas] 45 ^ 2 = 2025 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2025 + 1111 = 3136 [/ matemáticas]

[matemáticas] 56 ^ 2 = 3136 [/ matemáticas]

Answer 8

2025 y 3136 escudos de 45 y 56