Cómo calcular [20 + 14 (2) ^ 1/2] ^ 1/3 + [20-14 (2) ^ 1/2] ^ 1/3 pero sin usar una calculadora

Answer 1

Deje que [matemáticas] a = (20 + 14 \ sqrt 2) ^ \ frac {1} {3} [/ matemáticas] y [matemáticas] b = (20-14 \ sqrt 2) ^ \ frac {1} {3} [/matemáticas]

[matemáticas] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) ^ 3 = (20 + 14 \ sqrt 2) + (20-14 \ sqrt 2) +3 (20 + 14 \ sqrt 2) ^ \ frac {1} {3} (20- 14 \ sqrt 2) ^ \ frac {1} {3} (a + b) [/ math]

[matemáticas] (a + b) ^ 3 = 40 + 3 (400-14 ^ 2 * 2) ^ \ frac {1} {3} (a + b) [/ matemáticas] donde x = a + b

[matemáticas] x ^ 3 = 40 + 3 * 2 x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3–6x-40 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3–64–6x + 24 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] (x-4) (x ^ 2 + 4x + 10) = 0 [/ matemática]

La única raíz real es x = 4

[matemáticas] \ por lo tanto (20 + 14 \ sqrt 2) ^ \ frac {1} {3} + (20-14 \ sqrt 2) ^ \ frac {1} {3} = 4 [/ matemáticas]

Answer 2

No entiendo su notación, “14 (2)”, pero superando eso, existen algoritmos directos para calcular raíces cuadradas y cuadradas.

En realidad, enseñaron el enfoque de raíz cuadrada en la escuela hace muchos, muchos años (probablemente para mostrar por qué los registros fueron útiles), pero realmente dudo que muchas personas hayan usado el algoritmo de raíz cúbica en la práctica. Puede encontrar el algoritmo de raíz cuadrada en Algoritmo de raíz cuadrada. Y aquí está el enfoque de la raíz del cubo raíz del cubo O probablemente de manera más práctica, podría hacerlo numéricamente haciendo una estimación inicial y luego ajustándola. Si sabes diferenciar, entonces el método de Newton es rápido. Si no lo hace, encuentre dos valores que unan la raíz (un valor le dará un resultado positivo y el otro negativo para que sepa que la respuesta está entre los dos). Luego elija el punto medio del intervalo, calcule el nuevo resultado usando ese número, y ahora sabrá qué mitad del intervalo original contiene la raíz. Reduzca a la mitad ese intervalo, enjuague y repita hasta que tenga la precisión que desea.