¿Cuál es la imagen de la transformación lineal T (x) = Ax si A es una matriz 3 × 3 que consta de 1 solamente?

Teorema: Sea [matemática] T: V \ rightarrow W [/ matemática] una transformación lineal entre el espacio vectorial [matemática] V [/ matemática], [matemática] W [/ matemática] y [matemática] V = [/ matemática] Dimensión finita. Si [math] V [/ math] tiene una base [math] B = \ {v_1, v_2… v_n \} [/ math], entonces el rango de [math] T = [/ math] span [math] [/ math].

En su caso, [math] T [/ math] es un LT del espacio vectorial [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] a [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] y [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] tiene una base estándar [math] B = \ {e_1, e_2, e_3 \} [/ math]. Observe también que [matemáticas] T (e_1) = T (e_2) = T (e_3) = (1,1,1) ^ T [/ matemáticas]. Entonces Rango de [matemáticas] T = \ {(x, x, x) ^ T: x \ in \ mathbb {R} \} [/ matemáticas] es decir, una línea a través del origen y el vector [matemáticas] (1,1, 1) ^ T [/ matemáticas]

No estoy seguro, pero parece que daría un vector que consiste en la suma de todas las entradas en [matemáticas] x_1, x_2, [/ matemáticas] y [matemáticas] x_3. [/ Matemáticas] Básicamente, ‘ d hacer un vector [matemática] K [/ matemática] tal que

[matemáticas] K = (x_1 + x_2 + x_3, x_1 + x_2 + x_3, x_1 + x_2 + x_3). [/ matemáticas]

Básicamente, cada entrada en el vector sería la misma. No estoy seguro de si eso es 100% correcto, pero sé que no puede dar todos los vectores en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math], ya que no tiene un pivote en cada fila.