Si dos números no negativos son tales que el primero más el cuadrado del segundo es 10, ¿cómo encuentra los números si su suma es lo más grande posible?

Answer 1

Sea [math] a + b ^ 2 = 10 [/ math], con [math] a \ ge0 [/ math], [math] b \ ge0 [/ math].

Maximizar [matemáticas] a + b [/ matemáticas].

Bueno, tenemos [matemática] a = 10-b ^ 2 [/ matemática], entonces [matemática] a + b = 10 + bb ^ 2 [/ matemática].

Los valores máximos y mínimos están en los límites o cuando la derivada es [matemática] 0 [/ matemática].

si [matemática] b = 0 [/ matemática], entonces [matemática] a = 10 [/ matemática] y [matemática] a + b = 10 [/ matemática].

si [matemática] a = 0 [/ matemática], entonces [matemática] b = \ sqrt {10} [/ matemática], y [matemática] a + b = \ sqrt {10} \ simeq3.16 [/ matemática]

[matemáticas] \ frac d {db} 10 + bb ^ 2 = 1-2b [/ matemáticas]. Si [matemática] 1-2b = 0 [/ matemática], entonces [matemática] b = \ frac12 [/ matemática], [matemática] a = 10- \ frac14 [/ matemática] y [matemática] a + b = 10 + \ frac14 = 10.25 [/ matemáticas]

Entonces los números son 9.75 y 0.5

Answer 2

[matemáticas] a + b ^ 2 = 10 [/ matemáticas]

O [matemáticas] a = 10 – b ^ 2 [/ matemáticas]

Necesitamos maximizar su suma.

Suma [matemáticas] = a + b = 10 – b ^ 2 + b [/ matemáticas]

Lo diferenciamos con respecto a b.

[matemáticas] d (suma) / db = -2b + 1 [/ matemáticas]

Equivalente a cero, [matemática] 2b = 1 [/ matemática] o [matemática] b = 0.5 [/ matemática]

Comprobando si el valor obtenido es realmente máximo, lo diferenciamos nuevamente.

[matemáticas] d ^ 2 (suma) / db ^ 2 = – 2 <0 [/ matemáticas]

La segunda derivada es menor que cero. El punto crítico b = 0.5 es el máximo.

Por lo tanto, [matemáticas] a = 10 – 0.5 ^ 2 = 9.75 [/ matemáticas]

Answer 3

Deje que los 2 números sean x e y tales sq (x) + y = 10

Desea encontrar x e y tal que (x + y) sea maximizar

x + y = x + 10-sq (x)

para maximizar esto, diferencie este wrt x y ajústelo a cero

así 1 + 0-2x = 0

por lo tanto 2x = 1 o x = 0.5

pero sq (x) + y = 10

por lo tanto y = 10-sq (0.5)

y = 10-.25 = 9.75

Por lo tanto, los 2 números son 0.5 y 9.75

Answer 4

Método 1: uso de álgebra simple

Dado que

[matemática] \ begin {cases} S = x + y \\ x + y ^ 2 = 10 \ end {cases} \ tag * {} [/ math]

De la segunda ecuación tenemos [matemáticas] x = 10-y ^ 2 [/ matemáticas]. Establecer esto en la primera ecuación produce …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} S & = x + y \\ & = 10-y ^ 2 + y \\ & = – (y ^ 2-y) +10 \\ & = – \ left (y ^ 2-2 \ cdot y \ cdot \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {4} – \ dfrac {1} {4} \ right) +10 \\ & = – \ left ( y- \ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2 + \ dfrac {41} {4} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

Es fácil ver que [matemática] S [/ matemática] se maximiza cuando [matemática] y = \ dfrac {1} {2} [/ matemática]

Volver a sustituir este valor en la segunda ecuación del sistema produce …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} x & = 10-y ^ 2 \\ & = 10- \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2 \\ & = 10- \ dfrac {1} {4} \\ & = 9 \ dfrac {3} {4} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

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Método 2: uso del cálculo diferencial

[matemática] \ begin {cases} S = x + y \\ x + y ^ 2 = 10 \ end {cases} \ tag * {} [/ math]

Usando la segunda ecuación en la primera, obtenemos

[matemáticas] S = 10-y ^ 2 + y \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Punto crítico:

[matemáticas] \ dfrac {dS} {dy} = 0 \\ \ implica -2y + 1 = 0 \\ \ implica y = \ dfrac {1} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2S} {dy ^ 2} = – 2 [/ matemáticas], forma cóncava hacia abajo. Por lo tanto, el punto crítico encontrado anteriormente produce un valor máximo para [math] S [/ math]

Ahora que tenemos [math] y [/ math], sustituyendo de nuevo en la primera ecuación se obtiene

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} x & = 10-y ^ 2 \\ & = 10- \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2 \\ & = 10- \ dfrac {1} {4} \\ & = 9 \ dfrac {3} {4} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

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Método 3: usar multiplicadores de Lagrange

[matemáticas] \ text {Optimizar} S = x + y \\ \ text {Sujeto a la restricción} x + y ^ 2 = 10 \\ \ text {Para que podamos escribir} \\ S = x + y, \, C = x + y ^ 2-10 \\\ text {Usando multiplicadores de Lagrange} \\ S_x = \ lambda C_x \\\ implica 1 = \ lambda \ cdot 1 \\ \ implica \ lambda = 1 \\ S_y = \ lambda C_y \\\ implica 1 = 2 \ lambda y \\ \ implica 2y = 1 \\ \ implica y = \ dfrac {1} {2} \\ \ implica x = 10-y ^ 2 = 10- \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2 = 10- \ dfrac {1} {4} = 9 \ dfrac {3} {4} \ tag * {} [/ math]