¿Cómo puede [math] e ^ {\ frac {\ xi ^ 2} {2}} \ delta (\ xi \ pm 1) [/ math] puede ser igual a [math] e ^ {\ frac {(\ pm 1) ^ 2} {2}} \ delta (\ xi \ pm 1) [/ math]?

Answer 1

“Por qué la transformación inversa de Fourier de:

es igual a

Para expresar una función periódica (cuya energía no es finita ), debe usar una construcción teórica llamada función Delta de Dirac, que concentra energía infinita en un punto. La derivación utiliza los siguientes hechos:

1. Una función periódica se puede expresar como una serie de Fourier, es decir, la suma de exponenciales complejos.
2. La transformación de Fourier de un impulso centrado en cero es la unidad. Cuando este impulso se desplaza en el tiempo, provoca un cambio de fase en el dominio de frecuencia, lo que resulta en un exponencial complejo como su transformada de Fourier.
3. Debido a la propiedad de dualidad del FT, cada uno de esos exponenciales complejos de la serie de Fourier produce un impulso en el dominio de la frecuencia.

Ahora aplique las tres propiedades a una sinusoide y obtendrá su respuesta.

Answer 2

La primera es una propiedad simple de la función Dirac-delta (función de impulso), es así …

[matemática] \ grande x (t). \ delta (t) = x (0). \ delta (t) \ cdots (1) [/ matemática]

[matemática] \ grande x (t). \ delta (t \ color {rojo} {\ pm t_ {0}}) = x (\ color {rojo} {\ pm t_ {0}}). \ delta (t \ color {rojo} {\ pm t_ {0}}) \ cdots (2) [/ math]

Esta propiedad es válida para la multiplicación y si la multiplicación se reemplaza por convolución, entonces

[math] \ large x (t) * \ delta (t \ color {red} {\ pm t_ {0}}) = x (t \ color {red} {\ pm t_ {0}}) [/ math]

donde * representa convolución

y si esto se integra sobre la recta infinita de números reales, entonces dará

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t). \ delta (t- \ color {red} {t_ {0}}) dt = x (\ color {red} {t_ {0}}) \ cdots (3) [/ math]

Para la primera parte, use la propiedad (2)

Y para la segunda parte

necesita dos propiedades, la primera es Dualidad, para cualquier señal / función [matemática] \ grande x (t) [/ matemática] si es la Transformada de Fourier es [matemática] \ grande X (w) [/ matemática] y luego según el principio de dualidad

[matemática] \ grande x (t) \ leftrightarrow X (\ omega) ~~~~~~~~~~~~~~ o ~ x (t) \ leftrightarrow X (f) [/ math]

[matemáticas] \ gran X (t) \ leftrightarrow 2. \ pi.x (- \ omega) ~~~ o ~ X (t) \ leftrightarrow x (-f) [/ math]

otro es el cambio de frecuencia

[matemáticas] \ large e ^ {- j. \ omega_0.t} .x (t) \ leftrightarrow X (\ omega + \ omega_0) [/ math]

[matemática] \ grande e ^ {j. \ omega_0.t} .x (t) \ leftrightarrow X (\ omega- \ omega_0) [/ matemática]

Entonces, usando estas dos propiedades podemos escribir

[matemáticas] \ large \ color {azul} {e ^ {- j. \ omega_0.t}}. \ color {rojo} {1} \ leftrightarrow \ color {rojo} {2. \ pi. \ delta (\ omega } + \ color {azul} {\ omega_0}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ large \ color {azul} {e ^ {j. \ omega_0.t}}. \ color {rojo} {1} \ leftrightarrow \ color {rojo} {2. \ pi. \ delta (\ omega} – \ color {azul} {\ omega_0}) [/ matemáticas]

Ahora si escribimos coseno en términos de exponenciales y usamos estas propiedades tendremos …

[matemáticas] \ large cos (\ omega_0.t) = \ dfrac {e ^ {j. \ omega_0.t}} {2} + \ dfrac {e ^ {- j. \ omega_0.t}} {2} [ /matemáticas]

Ahora toma FT

[matemáticas] \ boxed {\ color {green} {\ large cos (\ omega_0.t) \ leftrightarrow \ pi. \ delta (\ omega- \ omega_0) + \ pi. \ delta (\ omega + \ omega_0)}} [ /matemáticas]

entonces, si la magnitud de la señal del coseno es [matemática] \ sqrt {\ dfrac {e} {2 \ pi}} [/ matemática] y la frecuencia [matemática] \ omega_ {0} [/ matemática] es 1 rad / seg entonces su transformada de fourier será …

[matemáticas] \ boxed {\ color {green} {\ large \ sqrt {\ dfrac {e} {2 \ pi}} cos (t) \ leftrightarrow \ sqrt {\ dfrac {e. \ pi} {2}}. \ left [\ delta (\ omega-1) + \ delta (\ omega + 1) \ right]}} [/ math]

Answer 3

El FT de [math] \ cos \ omega_0 t [/ math] es [math] \ pi [\ delta (\ omega- \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0)] [/ math]. En su ejemplo [math] \ omega_0 = 1 [/ math]. Entonces el FT de [matemáticas] \ sqrt {\ frac {e} {2 \ pi}} \ cos (t) [/ matemáticas] es [matemáticas] \ sqrt {\ frac {e} {2 \ pi}} \ pi [\ delta (\ omega-1) + \ delta (\ omega + 1)] = \ sqrt {\ frac {e \ pi} {2}} [\ delta (\ omega-1) + \ delta (\ omega + 1)] [/ matemáticas]

Entonces, en mi humilde opinión, la última parte de su pregunta corresponde a un resultado incorrecto.

Con respecto a la primera parte, existe una igualdad si [math] \ xi = \ pm 1 [/ math], obviamente. Esta es una aplicación de una propiedad de la distribución [math] \ delta (\ xi) [/ math], que es:

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (\ xi) \ delta (\ xi- \ xi_0) d \ xi = f (\ xi_0) \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (\ xi- \ xi_0) d \ xi = f (\ xi_0) [/ math]

En este caso, [math] \ xi_0 = \ pm 1 [/ math].

Sin conocer el contexto de la pregunta (¿Mecánica Cuántica?) No se puede agregar más información …

HTH.

Answer 4

Si estamos siendo estrictos, la función delta es solo un objeto bien definido cuando aparece dentro de una integral. Sin embargo, puede tener una idea de por qué lo primero es cierto al reconocer que la función delta es igual a cero para todas [matemáticas] \ xi \ neq \ pm 1 [/ matemáticas], por lo que el producto

[matemáticas] e ^ {\ frac {\ xi ^ 2} {2}} \ delta (\ xi – 1) = 0, \ xi \ neq 1 [/ matemáticas]

El único lugar donde no es cero es cuando [math] \ xi = 1 [/ math], por lo que también puede reemplazar todos los [math] \ xi [/ math] ‘s con 1 porque obtendría lo mismo .

De nuevo, solo es realmente significativo debajo de una integral, en cuyo punto vemos que

[matemáticas] \ int d \ xi e ^ {\ frac {\ xi ^ 2} {2}} \ delta (\ xi – 1) = e ^ {\ frac {1} {2}} \ int d \ xi \ delta (\ xi-1) = e ^ {\ frac {1} {2}} [/ math]

Para responder a su otra pregunta,

[matemáticas] \ matemáticas {F} ^ {- 1} \ izquierda (\ frac {\ sqrt {e}} {2} (\ delta (\ omega – 1) + \ delta (\ omega +1) \ right) = \ frac {\ sqrt {e}} {2} \ int \ frac {d \ omega} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {i \ omega t} \ delta (\ omega-1) + e ^ { i \ omega t} \ delta (\ omega +1) [/ math]

[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {e} {2 \ pi}} \ frac {e ^ {it} + e ^ {- it}} {2} = \ sqrt {\ frac {e} {2 \ pi }} \ cos (t) [/ math]

donde usamos la identidad de Euler [matemáticas] e ^ {it} = \ cos (t) + i \ cdot \ sin (t) [/ matemáticas].

Answer 5

La parte superior solo dice que xi es más o menos uno. En el fondo, no tengo idea de lo que estás tratando de preguntar.