¿Existe X en la ecuación matricial [math] \ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \ end {pmatrix} X = I_2 [/ math]?

Answer 1

Supongamos que existe una [matemática] X [/ matemática]. Entonces [math] \ begin {pmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {pmatrix} [/ math], la primera columna de [math] X [/ math], satisfaría las relaciones

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & 2 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {pmatrix} = 1; [/ math]

[matemáticas] 2 \ begin {pmatrix} 1 & 2 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {pmatrix} = 0. [/ math]

Claramente esto es imposible. Entonces su suposición es correcta: la respuesta es no.

El determinante de la matriz [matemática] 2 \ veces 2 [/ matemática] en su ecuación es cero. Para las matrices [math] 2 \ times 2 [/ math], el determinante es cero si y solo si sus dos filas son múltiplos entre sí . Cuando este sea el caso, terminarás con ecuaciones contradictorias como las dos anteriores.

Por lo tanto, el determinante es una forma práctica de determinar (disculpe el juego de palabras) si ese producto existe … pero eso es todo lo que hace. No explica por qué [matemáticas] X [/ matemáticas] no puede existir; solo te dice que no.

Answer 2

Dado que….

[matemática] \ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \ end {pmatrix} X = I_2 [/ math]… .. (1)

Deje que [math] A = \ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \ end {pmatrix} [/ math]

Si ‘A’ es invertible, entonces existe la solución de (1).

Ahora, la mejilla A es invertible …

[matemáticas] \ begin {vmatrix} 1 y 2 \\ 2 y 4 \ end {vmatrix} [/ math]

[matemáticas] = 4–4 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 0 [/ matemáticas]

Como, [math] \ large \ boxed {\ begin {vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \ end {vmatrix} = 0} [/ math], entonces la matriz ‘A’ no es invertible.

Entonces, la solución de (1) no existe.

Answer 3

Exactamente.

Una matriz tiene un inverso cuando su determinante es distinto de cero, y un inverso se define por la unidad como producto (en este caso [matemática] I_2 [/ matemática]).

Sin embargo, hay una pequeña nota al margen que debo agregar (no es relevante para su matriz específica). Hay ciertas matrices que tienen inversas derecha (o izquierda). Como probablemente entienda, esto significa que las matrices específicas tienen una matriz ‘inversa’ que solo funciona desde el lado derecho (o izquierdo). Si una matriz es invertible, entonces hay un inverso izquierdo y uno inverso, y estoy razonablemente seguro de que son automáticamente los mismos.

Es divertido porque es diferente de los números, principalmente porque todos los números (bueno, los reales y complejos al menos) son conmutativos (ab = ba), pero las matrices a menudo no lo son. Y, por lo tanto, no es una idea completamente extraña que pueda existir un inverso unilateral.

De todos modos, es fácil demostrar que cuando hay un determinante que desaparece, lo inverso no existe. Simplemente necesita esta propiedad para el determinante:

Det (AB) = Det (A) Det (B)

Aplicar eso en la ecuación anterior te daría:

1 = Det (X) 0

Que no tiene solución.

Answer 4

Eso es correcto. Alternativamente, el determinante de un producto de matriz es igual al producto de los determinantes de matriz. Tomar el determinante de ambos lados produce

[matemática] 0 \ cdot det (X) = 1 [/ matemática]

lo cual por supuesto no es posible.

Answer 5

Una inversa a la derecha sería suficiente, pero eso no existe, ya que tener una inversa a la derecha es equivalente a tener una inversa a la izquierda aquí.

También puedes usar

[matemática] \ det (A) \ det (X) = \ det (AX) = \ det (I) = 1 [/ matemática]

[matemáticas] 0 \ cdot \ det (X) = 1 [/ matemáticas]

Entonces no, no puede existir.

Answer 6

Eso es correcto. Sin embargo, decir que la matriz “no tiene” un determinante es descuidado: tiene un determinante y ese determinante es cero.

Answer 7

Tienes razón. Sin embargo, solo un poco de terminología. La matriz tiene un determinante, cuyo valor es 0. Además, hay 3 matrices en esta ecuación, así que tenga poco cuidado con el uso de “the”.

Answer 8

Tienes razón.

El determinante de la primera matriz es cero. Existe, contrario a lo que usted dijo en el comentario.

En consecuencia, según el teorema de la Matriz Invertible, es equivalente al hecho de que X es invertible.

Espero que ayude 🙂

Answer 9

Es, por definición, la matriz inversa si entiendo lo que significa I2. Creo que cero determinante es un determinante. Su problema es encontrar la matriz inversa porque la división por cero es indeterminada. El determinante existe es cero pero la matriz inversa no.

Answer 10

La matriz no tiene rango completo, y por lo tanto no es invertable. Estás en lo correcto.