De acuerdo con su pregunta, la distancia máxima entre cada dos puntos es obviamente igual a la longitud de la pierna del triángulo, y la mínima es cero, pero no creo que eso sea lo que desea, en ese caso supongo que quiere decir que todos los puntos están lejos lejos el uno del otro con la misma distancia [matemáticas] x [/ matemáticas], y aquí viene la pregunta: ¿cuál es el valor máximo de [matemáticas] x [/ matemáticas]?
dado que x es la misma distancia entre cada dos puntos, cada uno de los tres puntos más cercanos debe formar un triángulo equilátero. y debido a que [math] x [/ math] debe ser máximo, los puntos se distribuyen de la siguiente manera:
Cuando cuenta los puntos en cada línea horizontal, de arriba hacia abajo, nota que cada línea es un punto más que la anterior, por lo que forma una secuencia aritmética. Si hay líneas [matemáticas] m [/ matemáticas], entonces debe haber [matemáticas] \ frac {m (m + 1)} {2} [/ matemáticas] puntos (suma de una secuencia aritmética). Debido a que sabemos cuántos puntos hay (n puntos), entonces [matemáticas] n = \ frac {m (m + 1)} {2} [/ matemáticas] o: [matemáticas] m ^ 2 + m -2.n = 0 [/ matemática], por lo tanto: [matemática] m = \ frac {-1+ \ sqrt {1 + 8.n}} {2}. [/ Matemática]
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Entonces tenemos [matemática] m = \ frac {-1+ \ sqrt {1 + 8.n}} {2} [/ matemática] puntos en cada lado del triángulo, lo que significa que la distancia entre cada punto de remolque es [matemática] x = \ frac {a} {m-1} = \ frac {a} {\ frac {-1+ \ sqrt {1 + 8.n}} {2} -1}. [/ math]
Esta solución no es válida para cualquier [matemática] n [/ matemática] o [matemática] m [/ matemática] que suponga, pero solo para algunos números específicos, y puede imaginarlo, si tomó [matemática] n = 2 [ / math] o [math] n = 4 [/ math], eso probablemente no funcionaría, porque la disposición de los puntos sería diferente, de alguna manera no sé si haría la misma secuencia aritmética.