Deje que [math] m [/ math] sea un entero positivo, impar , y sea [math] \ gcd (a, m) = d [/ math]. Deje [math] {\ xi} _m = e ^ {2 \ pi i / m} [/ math]. Entonces
[matemáticas] x ^ m-1 = \ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ m \ big (x – {\ xi} _m ^ k \ big). … (\ Star) [/ math]
Esto también se puede escribir como
[matemáticas] 1-x ^ m = \ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ m \ big (1 – {\ xi} _m ^ {- k} x \ big) = \ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ m \ big (1 – {\ xi} _m ^ {mk} x \ big) = \ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ m \ big (1 – {\ xi} _m ^ kx \ big). … (\ Star \ star) [/ math]
- ¿Es el número de números irracionales más que el número de números racionales?
- ¿Cuál es el área de la región que está limitada por [matemáticas] y = x ^ 2- \ pi ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = \ sin (x) [/ matemáticas]?
- ¿Es verdadera la siguiente afirmación? Si una función f (x) es derivable en x = a, entonces f ‘(x) es continua x = a.
- Si dos números no negativos son tales que el primero más el cuadrado del segundo es 10, ¿cómo encuentra los números si su suma es lo más grande posible?
- ¿Cómo puede [math] e ^ {\ frac {\ xi ^ 2} {2}} \ delta (\ xi \ pm 1) [/ math] puede ser igual a [math] e ^ {\ frac {(\ pm 1) ^ 2} {2}} \ delta (\ xi \ pm 1) [/ math]?
En particular, para cualquier número entero positivo [matemática] N [/ matemática], sustituyendo [matemática] x = -1 [/ matemática] en la ecuación. [matemáticas] (\ estrella \ estrella) [/ matemáticas] da
[matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ N \ big (1 + {\ xi} _N ^ k \ big) = 2.… (\ star \ star \ star) [/ math]
Escriba [matemática] a = bd [/ matemática], [matemática] m = nd [/ matemática], [matemática] \ mcd (b, n) = 1 [/ matemática]. Entonces
[matemáticas] {\ xi} _m ^ {a \ big (k + \ frac {m} {d} \ big)} = e ^ {2 \ big (k + \ frac {m} {d} \ big) a \ pi i / m} = e ^ {2ka \ pi i / m} \ cdot e ^ {2a \ pi i / d} = e ^ {2ka \ pi i / m} = {\ xi} _m ^ {ak}. [/matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ m \ big (1 – {\ xi} _m ^ {ak} x \ big) = \ left (\ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ {m / d } \ big (1 – {\ xi} _n ^ {ak} x \ big) \ right) ^ d [/ math] [math] [/ math]
[matemáticas] = \ left (\ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ n \ big (1-e ^ {2bk \ pi i / n} x \ big) \ right) ^ d [/ math]
[math] = \ left (\ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ n \ big (1-e ^ {2k \ pi i / n} x \ big) \ right) ^ d [/ math] [math] ( [/ math] ya que [math] \ {bk \ bmod n: 1 \ le k \ le n \} = \ {k: 1 \ le k \ le n \}) [/ math] [math] [/ math]
Poner [math] x = -1 [/ math] en cada lado y usar eqn. [matemáticas] (\ estrella \ estrella \ estrella) [/ matemáticas] da
[matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ m \ left (1 + {\ xi} _m ^ {ak} \ right) = 2 ^ d [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]