Si. Ambos conjuntos son infinitos. Pero el infinito de los números irracionales es un orden de infinito más alto que el infinito de los números racionales.
Esto suena altamente contra-intuitivo hasta que estudies el trabajo de Cantor sobre la naturaleza de los conjuntos infinitos.
No es fácil poner el argumento en inglés simple, pero aquí va:
Obviamente, el conjunto de números naturales es infinito, PERO puedo crear una lista simple, en la que puedo decir: “Para CUALQUIER número de este conjunto, el patrón alcanzará ese número con el tiempo suficiente … y ese tiempo será finito”. ”
- ¿Cuál es el área de la región que está limitada por [matemáticas] y = x ^ 2- \ pi ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = \ sin (x) [/ matemáticas]?
- ¿Es verdadera la siguiente afirmación? Si una función f (x) es derivable en x = a, entonces f ‘(x) es continua x = a.
- Si dos números no negativos son tales que el primero más el cuadrado del segundo es 10, ¿cómo encuentra los números si su suma es lo más grande posible?
- ¿Cómo puede [math] e ^ {\ frac {\ xi ^ 2} {2}} \ delta (\ xi \ pm 1) [/ math] puede ser igual a [math] e ^ {\ frac {(\ pm 1) ^ 2} {2}} \ delta (\ xi \ pm 1) [/ math]?
- ¿Cómo diferenciamos [matemáticas] \ cos ^ {- 1} \ left (\ sqrt {\ frac {1+ \ sqrt {1 + x ^ 2}} {2+ \ sqrt {1 + x ^ 2}}} \ derecha) [/ matemáticas]?
Por ejemplo, incluso si cuenta para un google-plex, un número increíblemente grande, eventualmente llegará allí y llegará en un tiempo limitado, si simplemente lo mantiene el tiempo suficiente. Eso es cierto para cualquier miembro del conjunto. Por estas razones, decimos que el número de números naturales es contable .
Y aquí está la lista de números naturales: {1, 2, 3 …}
Los números racionales también son contables, porque puedo establecer una correspondencia uno a uno entre los números racionales y los números naturales.
Pero el conjunto de números irracionales no tiene esta propiedad “contable”. Es decir, hay tantos números MÁS irracionales que racionales, que no hay forma de establecer una lista de los números irracionales para que se puedan alcanzar. No importa cómo componga su lista, habrá muchos números (la mayoría de los números, en realidad) que son irracionales pero que nunca aparecen en la lista, ¡aunque sea infinitamente larga!