Para la forma cerrada de [math] a_n [/ math], use el método polinómico característico.
Deje [math] a_n = x ^ n [/ math]. Entonces obtienes una ecuación cuadrática [matemática] x ^ 2 – x – n = 0 [/ matemática], cuyas raíces son [matemática] \ frac {1+ \ sqrt {1 + 4n}} {2} [/ matemática] y [matemáticas] \ frac {1- \ sqrt {1 + 4n}} {2}. [/ matemáticas]
La forma general de [math] a_n [/ math] es [math] A \ cdot \ left (\ frac {1+ \ sqrt {1 + 4n}} {2} \ right) ^ n + B \ cdot \ left (\ frac {1- \ sqrt {1 + 4n}} {2} \ right) ^ n [/ math], donde [math] A [/ math] y [math] B [/ math] son tales que [math] a_0 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a_1 = 1. [/ Matemáticas]
Así, uno obtiene [matemáticas] a_n = \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ left (\ frac {1+ \ sqrt {1 + 4n}} {2} \ right) ^ n – \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ left (\ frac {1- \ sqrt {1 + 4n}} {2} \ right) ^ n. [/ math]
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Esto completa la respuesta a su pregunta principal .
Leí mal la pregunta y pensé que la secuencia se definiría como [matemáticas] \ {a_n = a_ {n-1} + a_ {n-2} \}, [/ matemáticas] que es una secuencia de Fibonacci.
La forma cerrada se puede escribir como,
[matemáticas] a_n = \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ left (\ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n- \ frac {1} {\ sqrt {5 }} \ left (\ frac {1- \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n. [/ math]
Para prueba: número de Fibonacci – Wikipedia
Pero para responder a su pregunta en detalle , es incorrecto. Aquí hay un contraejemplo, si [matemática] p = 31 [/ matemática] entonces [matemática] a_ {30} = 832040 = 23 × 5 × 11 × 31 × 61 [/ matemática].
De acuerdo con el enlace de Wikipedia proporcionado anteriormente, si [math] p [/ math] es un número primo, entonces
[matemáticas] a_ {p – \ left (\ frac {p} {5} \ right)} \ equiv 0 \ text {(mod} p), [/ math]
donde [math] \ left (\ frac {p} {5} \ right) [/ math] es el símbolo Legendre. [matemáticas] \ left (\ frac {p} {5} \ right) = 0 \ text {if} ~ p = 5, \ left (\ frac {p} {5} \ right) = 1 \ text {if} ~ p \ equiv \ pm1 \ pmod 5 [/ math] y [math] \ left (\ frac {p} {5} \ right) = -1 \ text {if} ~ p \ equiv \ pm2 \ pmod 5. [ /matemáticas]