Cómo resolver esto: [matemáticas] \ frac {1} {1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 4} + \ frac {2} {1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 4} + \ frac {3} {1+ 3 ^ 2 + 3 ^ 4} …… .. \ frac {99} {1 + 99 ^ 2 + 99 ^ 4} [/ matemáticas]

Para evaluar sumas de series, finitas o infinitas,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ N f (n) [/ matemáticas] o [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) [/ matemáticas],

especialmente en situaciones de tiempo limitado, como en los exámenes competitivos, busque expresar [matemáticas] f (n) [/ matemáticas] como [matemáticas] g (n) -g (n-1) [/ matemáticas] o como [matemáticas] g (n-1) -g (n) [/ math] para una función adecuada [math] g (n) [/ math]. ¡Por supuesto, esto es más fácil decirlo que hacerlo!

Si podemos encontrar esa función [matemática] g (n) [/ matemática], entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ N f (n) = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ N \ big (g (n) -g (n-1) \ big) [/ math ]

[matemáticas] = \ big (g (1) -g (0) \ big) + \ big (g (2) -g (1) \ big) + \ big (g (3) -g (2) \ big ) + \ cdots + \ big (g (N) -g (N-1) \ big) [/ math]

[matemáticas] = g (N) – g (0) [/ matemáticas].

Si [matemática] f (n) = g (n-1) -g (n) [/ matemática], entonces esta suma es [matemática] g (0) -g (N) [/ matemática].

Llevar esto al límite cuando [math] N [/ math] se acerca al infinito ,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) = \ displaystyle \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ N f (n) = \ displaystyle \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} \ big (g (N) – g (0) \ big) = \ left (\ displaystyle \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} g (N) \ right) – g ( 0) [/ matemáticas].

Nuevamente, si [matemática] f (n) = g (n-1) -g (n) [/ matemática], esta suma infinita es el negativo del límite anterior.

Como demostró hábilmente Devansh Sehta en su respuesta a esta pregunta

[matemáticas] f (n) = \ dfrac {n} {n ^ 4 + n ^ 2 + 1} = \ dfrac {n} {(n ^ 2 + 1) ^ 2-n ^ 2} = \ dfrac {n } {(n ^ 2 + n + 1) (n ^ 2-n + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} \ izquierda (\ dfrac {1} {n ^ 2-n + 1} – \ dfrac {1} {n ^ 2 + n + 1} \ derecha) [/ matemáticas ]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} \ left (\ dfrac {1} {(n-1) n + 1} – \ dfrac {1} {n (n + 1) +1} \ right) [ /matemáticas]

[math] = \ dfrac {1} {2} \ left (g (n-1) – g (n) \ right) [/ math],

donde [matemáticas] g (n) = \ dfrac {1} {n (n + 1) +1} [/ matemáticas].

Por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ N \ dfrac {n} {n ^ 4 + n ^ 2 + 1} = \ dfrac {1} {2} \ left (g (0) – g (N ) \ right) [/ math]

[matemática] = \ dfrac {1} {2} \ izquierda (1- \ dfrac {1} {N (N + 1) +1} \ derecha) [/ matemática]

[matemáticas] = \ dfrac {N (N + 1)} {2N (N + 1) +2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} – \ dfrac {1} {2N (N + 1) +2} [/ matemáticas].

En particular,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {99} \ dfrac {n} {n ^ 4 + n ^ 2 + 1} = \ dfrac {4950} {9901} = \ dfrac {1} {2} – \ dfrac {1} {19802} [/ math].

Además,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {n} {n ^ 4 + n ^ 2 + 1} = \ displaystyle \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} \ displaystyle \ sum_ { n = 1} ^ N \ dfrac {n} {n ^ 4 + n ^ 2 + 1} = \ dfrac {1} {2}. [/ math] [math] \ blacksquare [/ math]