Cómo integrar: [math] \ int \ frac {\ cos x + \ sin x} {\ sqrt {1 + \ sin (2x)}} dx [/ math]

Answer 1

Tenga en cuenta que

[matemáticas] \ sqrt {1+ \ sin {2x}} [/ matemáticas]

[math] = \ sqrt {\ sin² x + \ cos² x + 2 \ sin x \ cos x} [/ math]

[matemáticas] = \ sqrt {(\ sen x + \ cos x) ²} [/ matemáticas]

Mira eso

[matemáticas] \ sqrt {x²} = | x | = \ begin {cases} + x & x≥0 \\ – x & x <0 \ end {cases} [/ math]

---

Y ahora,

[matemáticas] \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ sqrt {1 + \ sin (2x)}} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ sqrt {(\ cos x + \ sin x) ²}} dx [/ matemáticas]

Caso 1

[matemáticas] \ cos x + \ sen x> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ cos x + \ frac {1} {\ sqrt {2}} sen x> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos {(x- \ frac {\ pi} {4})}> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ in (2k \ pi – \ frac {\ pi} {4}, 2k \ pi + \ frac {3 \ pi} {4}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ cos x + \ sin x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int 1 dx = x + C [/ matemáticas]

Caso 2

[matemáticas] \ cos x + \ sen x <0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ in (2k \ pi + \ frac {3 \ pi} {4}, 2k \ pi + \ frac {7 \ pi} {4}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {- \ cos x + – \ sin x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int -1 dx = -x + C [/ matemáticas]

Caso 3

[matemáticas] \ cos x + \ sen x = 0 [/ matemáticas]

Función no definida

---

Por lo tanto,

[matemáticas] \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ sqrt {1+ \ sin {(2x)}}} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ begin {cases} + x + c & x \ in (2k \ pi – \ frac {\ pi} {4}, 2k \ pi + \ frac {3 \ pi} {4}) \\ – x + c & x \ in (2k \ pi + \ frac {3 \ pi} {4}, 2k \ pi + \ frac {7 \ pi} {4}) \\ —- & x = (2k + 1) \ frac {\ pi} {2} + \ frac {\ pi} {4} \ end {cases} [/ math]

Answer 2

Nachiket ya ha esbozado a fondo cómo resolver esta ecuación utilizando la identidad pitagórica para reescribir el denominador, sin embargo, hay otra forma de abordarlo, ¡así que arrojaré mis dos peniques, por así decirlo!

Tenga en cuenta que, [matemáticas] 1 + pecado (2x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + cos (\ frac {\ pi} {2} – 2x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + cos (2 (\ frac {\ pi} {4} – x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2cos ^ 2 (\ frac {\ pi} {4} – x) [/ matemáticas]

Por lo tanto, la integral se puede escribir como

[matemáticas] \ int \ frac {cosx + sinx} {\ sqrt {2} cos (\ frac {\ pi} {4} – x)} dx [/ matemáticas]

Expandiendo [math] cos (\ frac {\ pi} {4} – x) [/ math] usando la fórmula del ángulo compuesto deja

[matemáticas] \ int \ frac {cosx + sinx} {cosx + sinx} dx [/ matemáticas]

[matemática] = x + C [/ matemática] si [matemática] cos (\ frac {\ pi} {4} – x) [/ matemática] es mayor que [matemática] 0 [/ matemática]

[matemática] = -x + C [/ matemática] si [matemática] cos (\ frac {\ pi} {4} – x) [/ matemática] es menor que [matemática] 0 [/ matemática]

Answer 3

[matemáticas] 1+ \ sin 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x + 2 \ sin x \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ cos x + \ sin x) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ sqrt {(\ cos x + \ sin x) ^ 2}} dx = \ int dx = x + C [/ matemáticas]

Answer 4

Observe que [matemática] \ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x) [/ matemática] y que [matemática] \ sin ^ 2 (x) + \ cos ^ 2 (x) = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, podemos reescribir la Integral como tal.

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos {x} + \ sin {x}} {\ sqrt {\ cos ^ 2 {x} + 2 \ sin {x} \ cos {x} + \ sin ^ 2 {x}}} dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos {x} + \ sin {x}} {\ sqrt {(\ cos {x} + \ sin {x}) ^ 2}} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos {x} + \ sin {x}} {\ cos {x} + \ sin {x}} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int {1} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = x + C [/ matemáticas]

Answer 5

Ponga u ^ 2 = 1 + Sin (2x), entonces, 2udu = 2Cos (2x) dx, entonces, dx = udu / [Cos (2x)]

Ahora Cos (2x) = Cos ^ 2 (x) – Sin ^ 2 (x) = (Cos (x) + Sin (x)) (Cos (x) – Sin (x)), por lo tanto, coloque el valor para dx en integral y la sustitución:

∫ (Cos (x) + Sin (x)) udu / [u (Cos (x) + Sin (x) (Cos (x) – Sin (x))], ahora haga la cancelación, observando que u = sqrt ( 1 + Sin (2x)) para obtener:

∫ du / [Cos (x) – Sin (x)], ahora, sqrt [(Cos (x) – Sin (x)) ^ 2]

= sqrt [Cos ^ 2 (x) + Sin ^ 2 (x) – 2 Sin (x) Cos (x)]

= sqrt [1 – Sin (2x)], desde arriba Sin (2x) = u ^ 2 – 1, y entonces la integral se convierte en:

∫du / [sqrt (2 – u ^ 2)]. Esto ahora está cerca de una integral estándar. Ponga u = √2 Cos (t) y así:

du = -√2Sin (t) dt y √ (2 – 2Cos ^ 2 (t)) = √2Sin (t), por lo tanto, la integral se convierte después de cancelar √2s y Sin (t):

-∫dt = -t + c. Ahora, t = arcos (u / (√2)) y, por supuesto, u = √ (1 + Sin (2x)) y entonces la integral se convierte en:

-arcos [(√ (1 + Sin (2x)) / (√2)] + c, (lo cual es un poco inquietante porque no parece estar de acuerdo con ninguna de las otras respuestas).

Answer 6

Vaya a Wolfram Alpha y escriba la pregunta:

integrar: (cosx + sinx) / root (1 + sin2x)

Motor de conocimiento computacional

Answer 7

1 + sin2x = Sin²x + 2sinxcosx + cos²x (si tiene conocimiento básico y sentido común)

Entonces quedará será 1 / sinx + cosx

Entonces es fácil ¿verdad?

Eso es lo único que necesitas! ¡Puedes preguntarme si quieres una solución completa!