Cómo resolver esta pregunta de límite: [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} [/ matemáticas] ([matemáticas] \ sen x) ^ \ frac {1} {\ ln {x}} [/ matemáticas]

Answer 1

Digamos que [matemáticas] L = [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} (sin (x)) ^ {1 / ln (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ln (L) = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {ln (sin (x))} {ln (x)} [/ matemáticas]

Este es un límite de la forma [matemáticas] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ matemáticas] y, por lo tanto, podemos aplicar la regla de L’Hospital y diferenciar el nominador y el denominador.

Obtenemos, [matemáticas] ln (L) = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {1} {sin (x)} \ cdot {cos (x)} \ cdot {\ frac {1} {x}} [/matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {x} {tan (x)} [/ matemáticas]

Este es un límite de la forma [matemática] \ frac {0} {0} [/ matemática] y podemos aplicar nuevamente la regla del Hospital L’Hospital.

De este modo, obtenemos, [matemáticas] ln (L) = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {1} {sec ^ {2} (x)} = 1 [/ matemáticas]

Entonces, [math] ln (L) = 1 \ implica L = e ^ 1 \ implica \ boxed {L = e} [/ math]

Answer 2

tl; dr: el límite es 0.

Lo que hace que esta sea difícil es la primera función, (sen x) ^ (1 / lnx), porque “enchufar” 0 nos da la forma indeterminada 0 ^ 0.

Para lidiar con esto, dejemos

y = (sen x) ^ (1 / ln x).

Entonces

y = e ^ ln [(sen x) ^ (1 / ln x)].

Usando la regla de poder para logaritmos, tenemos

ln [(sin x) ^ (1 / ln x)] = (1 / ln x) * ln (sin x)

= ln (sen x) / ln x

Ambos se acercan al infinito negativo como x → 0, por lo que utilizamos la regla de L’Hospital. Tomar derivados de arriba y abajo nos da:

(cos x / sin x) / 1 / x = (x * cos x) / sin x

= (x / sen x) * cos x.

Dejar x → 0 nos da un límite de 1 * 1 = 1.

Entonces como x → 0, tenemos

ln [(sen x) ^ (1 / ln x)] = 1.

Anteriormente, dijimos y = e ^ ln [(sin x) ^ (1 / ln x)], por lo que como x → 0, tenemos y → e ^ 1 = e.

En su totalidad, la función original era

(sen x) ^ (1 / ln x) * x.

Así, como x → 0, nuestra función se aproxima a e • 0 = 0.

Answer 3

Para resolver esto, usaré un truco estableciendo el límite igual a alguna función que sea la respuesta. Me gusta esto:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to {a}} f (x) = L [/ matemáticas]

En este caso, esto será:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a {0}} \ sin ^ {\ frac {1} {\ ln {x}}} {x} = L [/ matemáticas]

Tome el registro natural de ambos lados para que podamos aplicar la regla de L’hopital al límite:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to {0}} \ dfrac {1} {\ ln {x}} \ ln ({\ sin {x})} = \ ln {L} [/ math]

[matemáticas] \ Longrightarrow \ displaystyle \ lim_ {x \ to {0}} \ dfrac {\ ln ({\ sin {x}})} {\ ln {x}} = \ ln {L} [/ math]

Aplicar la regla de L’hopital:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to {a}} \ dfrac {f (x)} {g (x)} = \ dfrac {f ‘(a)} {g’ (a)} [/ math]

[matemáticas] \ Longrightarrow \ displaystyle \ lim_ {x \ to {0}} \ dfrac {\ dfrac {d} {dx} [\ ln (\ sin {x})]} {\ dfrac {d} {dx} \ ln {x}} = \ ln {L} [/ math]

[matemáticas] \ Longrightarrow \ displaystyle \ lim_ {x \ to {0}} \ dfrac {\ dfrac {\ cos {x}} {\ sin {x}}} {\ dfrac {1} {x}} = \ ln {L} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Longrightarrow \ displaystyle \ lim_ {x \ to {0}} \ dfrac {x \ cdot \ cos {x}} {\ sin {x}} = \ ln {L} [/ math]

Conectar [math] x [/ math] es igual a [math] 0 [/ math] todavía estará en una forma indeterminada [math] \ frac {0} {0} [/ math] así que tendremos que usar L ‘ Regla del hopital nuevamente:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to {0}} \ dfrac {\ dfrac {d} {dx} [x \ cdot \ cos {x}]} {\ dfrac {d} {dx} \ sin {x }} = \ ln {L} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Longrightarrow \ displaystyle \ lim_ {x \ to {0}} \ dfrac {\ cos {x} -x \ cdot \ sin {x}} {\ cos {x}} = \ ln {L} [/ matemáticas]

Al conectar [matemáticas] x [/ matemáticas] como [matemáticas] 0 [/ matemáticas] nos da:

[matemáticas] \ dfrac {\ cos {0} -0 \ cdot \ sin {0}} {\ cos {0}} = \ ln {L} [/ matemáticas]

[matemática] \ Longrightarrow \ dfrac {1-0} {1} = \ ln {L} [/ matemática]

[matemática] \ Longrightarrow \ ln {L} = 1 [/ matemática]

[matemática] \ Longrightarrow {L} = e [/ matemática]

Por lo tanto:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a {0}} \ sin ^ {\ frac {1} {\ ln {x}}} {x} = e [/ matemáticas]

Answer 4

El logaritmo del límite será el límite de [math] \ frac {ln \ sin x} {ln x} [/ math] que es un caso de infinito sobre infinito, por lo que se aplica la Regla del Hospital, hágala [matemática] \ frac {\ cos x / \ sin x} {1 / x} = \ frac {x \ cos x} {\ sin x} [/ math] que va a 1, por lo tanto, la expresión original va a e.

Answer 5

¿Es ese el límite que pediste?

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} x \ sin ^ {\ frac {1} {\ ln {\ left (x \ right)}}} {\ left (x \ right)} [/ math]

Si es así, el punto no está en el dominio de la función, por lo que el límite no existe.

Entonces :

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} x \ sin ^ {\ frac {1} {\ ln {\ left (x \ right)}}} {\ left (x \ right)} [/ math]

No existe