Cómo probar que 2arctan (a + b / ab) ^ 1 / 2.tanx / 2 = arccos (acosx + b) / (a ​​+ bcosx)

Answer 1

[matemáticas] 2Tan ^ {- 1} (\ frac {(ab) ^ {\ frac {1} {2}} Tan (\ frac {x} {2})} {(a + b) ^ {\ frac { 1} {2}}}) [/ matemáticas]

= [matemáticas] Tan ^ {- 1} (\ frac {(ab) ^ {\ frac {1} {2}} Tan (\ frac {x} {2})} {(a + b) ^ {\ frac {1} {2}}}) + Tan ^ {- 1} (\ frac {(ab) ^ {\ frac {1} {2}} Tan (\ frac {x} {2})} {(a + b) ^ {\ frac {1} {2}}}) [/ matemáticas]

Esto está en la forma de [matemáticas] Tan ^ {- 1} (x) + Tan ^ {- 1} (y) = Tan ^ {- 1} (\ frac {x + y} {1-xy}) [ /matemáticas]

tomar [matemáticas] t = Tan (\ frac {x} {2}) [/ matemáticas]

Usando esto obtenemos

[matemáticas] Tan ^ {- 1} (\ frac {2 (a ^ {2} – b ^ {2}) ^ {\ frac {1} {2}} t} {a (1-t ^ {2} ) + b (1 + t ^ {2})}) [/ math]

Convierta esto a arccos usando las propiedades del triángulo rectángulo.

[matemáticas] Cos ^ {- 1} (\ frac {a (1-t ^ {2}) + b (1 + t ^ {2})} {a (1 + t ^ {2}) + b (1 -t) ^ {2}}) [/ matemáticas]

dividir el numerador y el denominador entre [matemáticas] 1 + t ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] Entonces \ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}} = \ frac {1- (Tan (\ frac {x} {2})) ^ {2}} {1 + (Tan (\ frac {x} {2})) ^ {2}} = Cos x [/ matemáticas]

obtenemos

[matemáticas] Cos ^ {- 1} (\ frac {a (1-t ^ {2}) + b (1 + t ^ {2})} {a (1 + t ^ {2}) + b (1 -t ^ {2})}) = Cos ^ {- 1} (\ frac {aCosx + b} {a + bCosx}) [/ math]

Ahí tienes.

Answer 2

RTP:

2 arctan [{(ab) / (a ​​+ b)} ^ (1/2) * tan (x / 2)] = arccos [{a * cos (x) + b} / {a + b * cos (x )}]

Paso 1

Para RHS, aplique la fórmula: cos (x) = (1-tan ^ 2 (x / 2)) / (1 + tan ^ 2 (x / 2))

obtenemos RHS:

= arccos [{a * cos (x) + b} / {a + b * cos (x)}]

= arccos [{a * cos ( (1-tan ^ 2 (x / 2)) / (1 + tan ^ 2 (x / 2)) ) + b} / {a + b * cos ( (1-tan ^ 2 (x / 2)) / (1 + tan ^ 2 (x / 2)) )}]

Resolviendo nos ponemos,

RHS = arccos {a + b – (ab) tan ^ 2 (x / 2)} / {a + b + (ab) tan ^ 2 (x / 2)}

Paso 2

Para LHS, aplique la fórmula: 2 arctan (x) = arccos {(1-x ^ 2) / (1 + x ^ 2)}

Considere x = {(ab) / (a ​​+ b)} ^ (1/2) * tan (x / 2), obtenemos LHS:

= 2 arctan [{(ab) / (a ​​+ b)} ^ (1/2) * tan (x / 2)]

= arccos [ { 1 – {(ab) / (a ​​+ b)} tan ^ 2 (x / 2) } / { 1 + {(ab) / (a ​​+ b)} tan ^ 2 (x / 2) } ]

Resolviendo nos ponemos,

LHS = arccos {a + b – (ab) tan ^ 2 (x / 2)} / {a + b + (ab) tan ^ 2 (x / 2)}

Answer 3

Perdón por la mala letra