Cómo integrar cos2x.e ^ 4x

Answer 1

Tomemos

[matemáticas] I = \ int Cos (2x) e ^ {4x} [/ matemáticas]

(Fuente: imágenes de Google, soy demasiado vago para corregirlo en Latex)

Use la expresión anterior donde [math] u ‘= e ^ {4x} [/ math]

obtenemos

[matemáticas] I = \ frac {e ^ {4x}} {4} Cos (2x) – \ int (-2Sin (2x)) \ frac {e ^ {4x}} {4} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ frac {e ^ {4x}} {4} Cos (2x) + \ frac {1} {2} \ int Sin (2x) {e ^ {4x}} [/ matemáticas]

Ahora vamos a evaluar [matemáticas] \ int Sin (2x) {e ^ {4x}} [/ matemáticas]

use el método U’V nuevamente para obtener

[matemáticas] \ frac {e ^ {4x}} {4} Sin (2x) – \ int (2Cos (2x)) \ frac {e ^ {4x}} {4} [/ matemáticas]

= [matemática] \ frac {e ^ {4x}} {4} Sin (2x) – \ frac {1} {2} \ int Cos (2x) {e ^ {4x}} [/ math]

Hey mira, el lado derecho de la ecuación no es más que yo

= [matemáticas] \ frac {e ^ {4x}} {4} Pecado (2x) – \ frac {1} {2} I [/ matemáticas]

Pon esto en la ecuación original

[matemáticas] I = \ frac {e ^ {4x}} {4} Cos (2x) + \ frac {1} {2} (\ frac {e ^ {4x}} {4} Sin (2x) – \ frac {I} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ frac {e ^ {4x}} {4} Cos (2x) + \ frac {e ^ {4x}} {8} Sin (2x) – \ frac {I} {4} [/ matemáticas ]

[matemáticas] I + \ frac {I} {4} = \ frac {e ^ {4x}} {4} Cos (2x) + \ frac {e ^ {4x}} {8} Sin (2x) [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ frac {5I} {4} = \ frac {e ^ {4x}} {4} Cos (2x) + \ frac {e ^ {4x}} {8} Sin (2x) [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ frac {4 (\ frac {e ^ {4x}} {4} Cos (2x) + \ frac {e ^ {4x}} {8} Sin (2x))} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ frac {{e ^ {4x}} Cos (2x) + \ frac {e ^ {4x}} {2} Sin (2x)} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ frac {{2e ^ {4x}} Cos (2x) + {e ^ {4x}} Sin (2x)} {10} [/ matemáticas]

La integración indefinida agrega una ‘c’.

Answer 2

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ cos (2x) e ^ {4x} \, dx [/ math]

Deje [matemáticas] 2x = t [/ matemáticas]

Tomando derivados de ambos lados …

[matemáticas] 2 dx = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] dx = \ dfrac {dt} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ cos te ^ {2t} \, dt [/ math]

Uso de la integración por partes …

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {2} \ left [\ dfrac {e ^ {2t} \ cos t} {2} + \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ sin te ^ {2t } \, dt \ right] [/ math]

Volvamos a usar Integración por partes para resolver la Integral …

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {2} \ left [\ dfrac {e ^ {2t} \ cos t} {2} + \ dfrac {1} {2} \ left (\ dfrac {e ^ {2t } \ sin t} {2} – \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ cos te ^ {2t} \, dt \ right) \ right] [/ math]

[matemáticas] I = \ dfrac {e ^ {2t} \ cos t} {4} + \ dfrac {e ^ {2t} \ sin t} {8} – \ dfrac {1} {4} \ displaystyle \ int \ cos te ^ {2t} \, dt [/ math]

¡¡¡Mirar de cerca!!!

[matemáticas] I = \ dfrac {e ^ {2t} \ cos t} {4} + \ dfrac {e ^ {2t} \ sin t} {8} – \ dfrac {1} {4} I [/ matemáticas]

[matemáticas] I + \ dfrac {I} {4} = \ dfrac {e ^ {2t} \ cos t} {4} + \ dfrac {e ^ {2t} \ sin t} {8} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {5I} {4} = \ dfrac {e ^ {2t} \ cos t} {4} + \ dfrac {e ^ {2t} \ sin t} {8} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ dfrac {4} {5} \ izquierda [\ dfrac {e ^ {2t} \ cos t} {4} + \ dfrac {e ^ {2t} \ sin t} {8} \ right] [/matemáticas]

[matemáticas] I = \ dfrac {e ^ {2t} \ cos t} {5} + \ dfrac {e ^ {2t} \ sin t} {10} [/ matemáticas]

Volvamos a poner [matemáticas] t = 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ dfrac {e ^ {4x} \ cos 2x} {5} + \ dfrac {e ^ {4x} \ sin 2x} {10} + C [/ matemáticas]

¡Resuelto!

Answer 3

Usar integral por método de parte

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