Cómo integrar (x ^ 2 + x + 1 / x ^ 4 + x ^ 2 + 1)

Answer 1

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 2 + x + 1} {x ^ 4 + x ^ 2 + 1} \, dx [/ matemáticas]

¡Hagamos una travesura!

Podemos reescribir la integral de esta forma …

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {\ dfrac {x ^ 4 + x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + x + 1}} \, dx [/ math]

Esto se simplifica a …

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x ^ 2-x + 1} \, dx [/ matemáticas]

¡Una pequeña apuesta y ahora es un juego de niños!

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {\ left (x- \ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2 + \ dfrac {3} {4}} \, dx [/ math]

Sustituir [matemáticas] x- \ dfrac {1} {2} = t [/ matemáticas]

Tomando derivada de ambos lados …

[matemáticas] dx = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {t ^ 2 + \ left (\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 2} \, dt [/ math]

¡Mira, es una integral estándar!

[matemáticas] I = \ dfrac {2} {\ sqrt {3}} \ tan ^ {- 1} (\ dfrac {2t} {\ sqrt {3}}) + C [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] t = x- \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ dfrac {2} {\ sqrt {3}} \ tan ^ {- 1} \ left (\ dfrac {2 (x- \ frac {1} {2})} {\ sqrt {3} } \ right) + C [/ math]

¡Resuelto!

Answer 2

Integre cada término por separado. Toma 1 / x ^ 4 = x ^ -4.

x ^ 2 + x + x ^ -4 + x ^ 2 + 1

= x ^ 3/3 + x ^ 2/2 + x ^ -3 / -3 + x ^ 3/3 + x + c

= 2x ^ 3/3 + x ^ 2/2-x ^ -3 / 3 + x + c.

Answer 3

Podemos integrarlo por separado, es decir

[Indicaré el signo de integración como: 《]

《X ^ 2 dx + 《x dx + 《1 / x ^ 4 dx + 《x ^ 2 dx + 《1 dx

Por fórmula: x ^ n = x ^ (n + 1) / (n + 1)

= x ^ 3/3 + x ^ 2/2 + 《x ^ (- 4) dx + x ^ 3/3 + x

= 2x ^ 3/3 + x ^ 2/2 + x ^ (- 3) / (- 3) + x

= 2x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2–1 / 3x ^ 3 + x Resp.

Answer 4

Un pequeño reordenamiento lo ayudará a factorizar y reducir la integral a algo más simple.

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} x ^ 4 + x ^ 2 + 1 & = x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1-x ^ 2 \\ & = (x ^ 2 + 1) ^ 2- x ^ 2 \\ & = (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 2-x + 1) \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

---

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 2 + x + 1} {x ^ 4 + x ^ 2 + 1} \ mathrm {dx} & = \ int \ dfrac {x ^ 2 + x + 1} {(x ^ 2 + x + 1) (x ^ 2-x + 1)} \ mathrm {dx} \\ & = \ int \ dfrac {1} {x ^ 2- x + 1} \ mathrm {dx} \\ & = \ int \ dfrac {1} {\ left (x- \ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2 + \ dfrac {3} {4}} \ mathrm {dx} \\ & = \ int \ dfrac {1} {\ left (x- \ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2 + \ left (\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 2} \ mathrm {dx} \\ & = \ dfrac {2} {\ sqrt {3}} \ arctan \ left (\ dfrac {x- \ dfrac {1} {2}} {\ dfrac { \ sqrt {3}} {2}} \ right) + C \\ & = \ dfrac {2 \ sqrt {3}} {3} \ arctan \ left [\ dfrac {(2x-1) \ sqrt {3} } {3} \ right] + C \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]

Answer 5

La mejor manera de integrarlo es primero separarlos y luego usar el método de sustitución. Te mostraré cómo.

Espero que lo entiendas.