Acabo de responder una pregunta sobre la función totiente de Euler [matemáticas] \ phi (n); [/ matemáticas] esto está relacionado.
Una raíz primitiva de un número [matemática] n [/ matemática] es un número [matemática] g [/ matemática] cuyas potencias generan todos los números relativamente primos a [matemática] n, [/ matemática] módulo [matemática] n. [/ matemáticas]
Para [matemática] n = 18, [/ matemática] estamos trabajando módulo [matemática] 18 [/ matemática], lo que significa que solo nos preocupamos por los restos cuando dividimos por 18. Piense en ello como un reloj con 18 números en él, [matemáticas] 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 [/ matemáticas] y [matemáticas] 17 [/ matemáticas].
Los números relativamente primos a [matemáticas] 18 [/ matemáticas] en esta lista son [matemáticas] 1,5,7,11,13 [/ matemáticas] y [matemáticas] 17. [/ matemáticas] Hay seis de ellos, que significa que la función totient de [math] 18 [/ math] es seis, [math] \ phi (18) = 6. [/ math] Todos los demás tienen un factor común con [math] 18 [/ math] que es más grande que [matemáticas] 1. [/ matemáticas]
- ¿Cuál es el [math] \ int \ sin ^ n {x} dx [/ math]?
- Cómo dibujar la gráfica de [matemáticas] f (x) = e ^ {x ^ 2} [/ matemáticas]
- Si [math] \ sin x- \ cos x = \ dfrac {3} {5} [/ math], ¿qué es [math] \ cos (2x) [/ math]?
- Cómo graficar la transformación de f (2-x)
- ¿Cuál es el dominio y el rango de [matemáticas] f (x) = \ frac {1} {g (x)} [/ matemáticas] donde [matemáticas] g (x) = (x-3) ^ 2 (x-6 ) ^ 2 [/ matemáticas]?
Podemos verificar esto con la fórmula totient. Dado que la factorización prima de [matemáticas] 18 = 2 ^ 1 3 ^ 2, [/ matemáticas] obtenemos (ver el enlace)
[matemáticas] \ phi (18) = 18 (1 -1/2) (1 -1/3) = 18 (1/2) (2/3) = 6 \ quad \ marca de verificación. [/ matemáticas]
OK, tenemos nuestra lista de seis. Solo tenemos que pasar por sus poderes y ver si hay generadores que nos den los seis números en nuestra lista. Obviamente los poderes de [math] 1 [/ math] solo nos dan [math] 1, [/ math] así que eso no es un generador. Casi tan obvio, [matemática] 17 [/ matemática] es congruente con [matemática] -1 [/ matemática] módulo [matemática] 18 [/ matemática], (lo que significa que tienen el mismo resto cuando se divide por [matemática] 18 [/ matemática]), por lo que sus poderes son [matemática] -1 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática] y, por lo tanto, no pueden ser los seis.
Entonces tenemos cuatro más para verificar. Trabajaré módulo [matemáticas] 18 [/ matemáticas], pero escribo igual en lugar de congruente porque es más fácil de escribir.
[matemáticas] 5 ^ 0 = 1, [/ matemáticas] [matemáticas] 5 ^ 1 = 5, [/ matemáticas] [matemáticas] 5 ^ 2 = 7 [/ matemáticas] (eso es el resto de [matemáticas] 25 [/ matemáticas ] cuando se divide entre [matemáticas] 18 [/ matemáticas]), [matemáticas] 5 ^ 3 = 17, [/ matemáticas] [matemáticas] 5 ^ 4 = 13, [/ matemáticas] [matemáticas] 5 ^ 5 = 11. [ / math] Generamos los seis números a partir de las potencias de [math] 5 [/ math], por lo que [math] 5 [/ math] es una raíz primitiva de [math] 18. [/ math] La pregunta pregunta por “el ”Raíz primitiva, pero puede haber más de una. (Para ser justos, la pregunta también dice “ellos”). Sigamos adelante.
[matemática] 7 ^ 0 = 1, 7 ^ 1 = 7, 7 ^ 2 = 13, 7 ^ 3 = 1. [/ matemática] Eso solo generó tres de las seis antes de los ciclos, entonces [matemática] 7 [/ matemática ] no es una raíz primitiva.
[matemáticas] 11 ^ 0 = 1, 11 ^ 1 = 11, 11 ^ 2 = 13, 11 ^ 3 = 17, 11 ^ 4 = 7, 11 ^ 5 = 5. [/ matemáticas] Los seis de nuevo, [matemáticas] 11 [/ math] es una raíz primitiva de [math] 18. [/ Math]
[matemáticas] 13 ^ 0 = 1, 13 ^ 1 = 13. 13 ^ 2 = 7, 13 ^ 3 = 1. [/ math] Nuevamente solo tres, [math] 13 [/ math] no es una raíz primitiva.
Entonces, las dos raíces primitivas de [matemáticas] 18 [/ matemáticas] son [matemáticas] 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] 11. [/ Matemáticas]
Curiosamente, el número de raíces primitivas de [math] n [/ math] viene dado por [math] \ phi (\ phi (n)). [/ Math] En nuestro caso [math] \ phi (\ phi (18) ) = \ phi (6) = \ phi (2 ^ 1 3 ^ 1) = 6 (1 -1/2) (1 -1/3) = 2. [/ matemática]
