[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ sin ^ nx \, dx [/ matemáticas]
En primer lugar, vamos a dividirlo así …
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ sin ^ {n-1} x \ sin x \, dx [/ matemáticas]
Ahora voy a usar Integration By Parts, que dice que …
- Cómo dibujar la gráfica de [matemáticas] f (x) = e ^ {x ^ 2} [/ matemáticas]
- Si [math] \ sin x- \ cos x = \ dfrac {3} {5} [/ math], ¿qué es [math] \ cos (2x) [/ math]?
- Cómo graficar la transformación de f (2-x)
- ¿Cuál es el dominio y el rango de [matemáticas] f (x) = \ frac {1} {g (x)} [/ matemáticas] donde [matemáticas] g (x) = (x-3) ^ 2 (x-6 ) ^ 2 [/ matemáticas]?
- ¿Por qué a ^ -1 es igual a 1 / a?
[matemáticas] \ int \ u \, dv = uv – \ int \ v \, du [/ matemáticas]
Ahora, para nuestro caso,
[matemáticas] u = \ sin ^ {n-1} x [/ matemáticas]
Tomando derivados de ambos lados …
[matemáticas] du = (n-1) \ sin ^ {n-2} x \ cos x dx [/ matemáticas]
Del mismo modo para nuestro caso también tenemos …
[matemáticas] dv = \ sen x dx [/ matemáticas]
Integrando ambos lados …
[matemáticas] v = – \ cos x [/ matemáticas]
Con eso fuera del camino, ahora voy a usar Integration By Parts …
[matemáticas] I = \ sin ^ {n-1} x (- \ cos x) – \ displaystyle \ int (- \ cos x) (n-1) \ sin ^ {n-2} x \ cos x \, dx [/ math]
Eso se simplifica a …
[matemáticas] I = – \ sin ^ {n-1} x \ cos x + (n-1) \ displaystyle \ int \ cos ^ 2x \ sin ^ {n-2} x \, dx [/ matemáticas]
Ahora vamos a trabajar en el segundo término …
Deje [math] I_1 = (n-1) \ displaystyle \ int \ cos ^ 2x \ sin ^ {n-2} x \, dx [/ math]
Usemos una identidad Trig [math] \ cos ^ 2x = 1- \ sin ^ 2x [/ math]
[matemáticas] I_1 = (n-1) \ displaystyle \ int (1- \ sin ^ 2x) \ sin ^ {n-2} x \, dx [/ matemáticas]
¡Vamos a extender esto!
[matemáticas] I_1 = (n-1) \ displaystyle \ int \ sin ^ {n-2} x \, dx – (n-1) \ displaystyle \ int \ sin ^ 2x \ sin ^ {n-2} x \ , dx [/ math]
[matemáticas] I_1 = (n-1) \ displaystyle \ int \ sin ^ {n-2} x \, dx – (n-1) \ displaystyle \ int \ sin ^ nx \, dx [/ math]
Entonces, volvamos a poner todo junto !!!
[matemáticas] I = – \ sin ^ {n-1} x \ cos x + I_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] I = – \ sin ^ {n-1} x \ cos x + (n-1) \ displaystyle \ int \ sin ^ {n-2} x \, dx – (n-1) \ displaystyle \ int \ sin ^ nx \, dx [/ math]
[matemáticas] I = – \ sin ^ {n-1} x \ cos x + (n-1) \ displaystyle \ int \ sin ^ {n-2} x \, dx – (n-1) I [/ matemáticas ]
Reorganizando un poco …
[matemáticas] nI = – \ sin ^ {n-1} x \ cos x + (n-1) \ displaystyle \ int \ sin ^ {n-2} x \, dx [/ matemáticas]
[matemáticas] I = – \ dfrac {\ sin ^ {n-1} x \ cos x} {n} + \ dfrac {(n-1)} {n} \ displaystyle \ int \ sin ^ {n-2} x \, dx [/ math]
¡Eso es todo!
Nota: Para un valor no especificado de [math] n [/ math] , dicha pregunta no puede tener un valor, sino una solución general.
Ahora todo lo que tiene que hacer es simplemente conectar los diferentes valores de [math] n [/ math]
Resuelto 😀