¿Cuál es el dominio y el rango de [matemáticas] f (x) = \ frac {1} {g (x)} [/ matemáticas] donde [matemáticas] g (x) = (x-3) ^ 2 (x-6 ) ^ 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Sustituyendo, tenemos:

[matemáticas] f (x) = 1 / ((x – 3) ^ 2 (x – 6) ^ 2) [/ matemáticas]

[matemática] f (x) [/ matemática] solo se define cuando [matemática] (x – 3) ^ 2 (x – 6) ^ 2 \ neq 0 [/ matemática].

Encontremos dónde el denominador es igual a 0.

Debido a la regla del producto 0, [math] (x – 3) ^ 2 = 0 [/ math] o [math] (x – 6) ^ 2 = 0. [/ Math]

Separemos estos en dos casos diferentes.

Caso 1:

[matemáticas] (x – 3) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x – 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]

Caso 2:

[matemáticas] (x – 6) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x – 6 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 6 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] f (x) [/ matemática] solo no se define cuando [matemática] x = 3 [/ matemática] o [matemática] x = 6 [/ matemática].

Ahora para el rango.

Debido a que [math] g (x) [/ math] es un producto de cuadrados, [math] g (x) [/ math] siempre es positivo.

Esto se debe a que los cuadrados son siempre positivos (suponiendo que las raíces son reales), y un positivo por un positivo siempre es positivo.

Como [math] g (x) [/ math] siempre es positivo, [math] f (x) [/ math] también debe ser siempre positivo, porque 1 dividido por un número positivo siempre es positivo.

Por lo tanto, tenemos nuestra respuesta:

Dominio: [matemáticas] x \ neq 3, x \ neq 6 [/ matemáticas]

Rango: [matemáticas] x: (0, \ infty) [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {1} {(x-3) ^ 2 (x-6) ^ 2} [/ matemáticas]

[math] f (x) \: [/ math] estará indefinido cuando su denominador sea cero

Por lo tanto, [math] f (x) [/ math] estará indefinido en [math] x = 3,6 [/ math]

[math] \ implica \: [/ math] dominio de [math] f (x) \ in \ mathbb R – \ {3,6 \} [/ math]

Para el rango podemos ver que [math] f (x) [/ math] nunca puede ser negativo ya que el denominador comprende términos cuadrados.

[matemáticas] f (x) \ a 0 \ text {when} x \ to \ infty \ text {OR} x \ to- \ infty [/ math]

Y cuando tenemos valores de [matemáticas] x [/ matemáticas] muy cerca de [matemáticas] 3 [/ matemáticas] o [matemáticas] 6 [/ matemáticas] el denominador [matemáticas] \ a 0 \ implica f (x) \ a \ infty [/ math]

Como [math] f (x) [/ math] es continuo [math] \ forall x \ in \ mathbb R – \ {3,6 \} [/ math]

Por lo tanto, el rango de [math] f (x) \: \ in \ 🙁 0, \ infty) [/ math]

Answer 3

la gráfica de g (x) es un cuarto cúbico típico en forma de w, tocando el eje x en x = 3, 6. como puntos mínimos, con un punto máximo entre x = 4½

g ‘= 2 (x-3) (x-6) ² + 2 (x-6) (x-3) ² = 2 (x-6) (x-3) (x-6 + x-3) = (x-3) (x-6) (2x-9)

El valor x del punto máximo de g (x) es el mismo que el punto mínimo de f (x), en x = 9/2

la gráfica de f (x) es el RECIPROCAL de g (x), f (x) tiene asíntotas verticales donde g (x) tiene intersecciones x “conmovedoras tangenciales”.

Df = R, excepto x = 3,6

Rf = (0, ∞)

Answer 4

x = 3, x = 6 excluidos (asíntotas verticales)

Dominio = R menos {3, 6} donde R es el conjunto de Reales, se puede escribir como intervalo:

(-infinito, infinito) excluyendo 3.6

Como el denominador es necesariamente positivo con x en el dominio anterior, el rango es positivo Reales positivos:

Rango = (0, infinito)

Answer 5

Supongamos que x es real, ya que no está definido dividir por 0, entonces todos los números reales son válidos como dominio, excepto 3 o 6. Dado que g está compuesto por cuadrados de polinomios, todos los valores son positivos (cero está prohibido). Y así, el rango de f es todos los números reales positivos.

Answer 6

El dominio es todos los números reales excepto 3, 6 y rango mayor que cero …

Answer 7

Su dominio: (infinito negativo, 3) U (3, 6) U (6, infinito positivo)

Su rango: todos los números reales.

Answer 8

X diferente de 3 y 6

F (x) = de 1/324 a infinito