¿Por qué es que [matemáticas] \ left \ langle f (x) \ right \ rangle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ int _ {- \ frac {n} {2}} ^ {\ frac {n} {2}} f (x) dx [/ math], no [math] \ left \ langle f (x) \ right \ rangle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac { 1} {2n} \ int _ {- n} ^ {n} f (x) dx [/ math]?

Answer 1

A2A

Bueno, echémosle un vistazo. Tengamos [math] F: \ mathbb R \ rightarrow \ mathbb R, \ forall x, F ‘(x) = f (x) [/ math]

Entonces,

[matemáticas] \ forall n \ in \ mathbb R ^ {* +}, \ frac {1} {n} \ int _ {- \ frac {n} {2}} ^ \ frac {n} {2} f (x ) dx = \ frac {1} {n} (F (\ frac {n} {2} – F (- \ frac {n} {2})) [/ math]

Ahora, tengamos [matemáticas] m = 2n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {m} \ int _ {- \ frac {m} {2}} ^ \ frac {m} {2} f (x) dx = \ frac {1} {m} (F ( \ frac {m} {2}) – F (- \ frac {m} {2}) = \ frac {1} {2n} (F (n) -F (-n)) = \ frac {1} { 2n} \ int _ {- n} ^ nf (x) dx [/ math]

Y

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} m = \ infty [/ math]

Como consecuencia,

[matemáticas] \ lim_ {m \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {m} \ int _ {- \ frac {m} {2}} ^ \ frac {m} {2} f (x) dx = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {2n} \ int _ {- n} ^ nf (x) dx [/ math]

Entonces sí, ambas son notaciones diferentes de cosas equivalentes.

Answer 2

Bueno, sus significados son diferentes entre sí en que para un cierto n, no son necesariamente equivalentes.

Sin embargo, considerando la limitación, podemos ver que el límite de 1 / n cuando n tiende al infinito es igual al de 1 / 2n y también lo son esas dos integrales (cuando existen)

Tenga en cuenta que las limitaciones pueden multiplicarse (o sumarse, sustraerse o dividirse cuando el denominador no es cero) dentro de la misma condición (aquí es n tiende al infinito)

Entonces, el límite de ambos es igual pero su significado es bastante diferente en matemáticas.

Espero que esto ayude y perdóneme por no haber escrito fórmula matemática; )