Los únicos enteros positivos [matemática] m [/ matemática] que admiten raíces primitivas son [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] 2 [/ matemática], [matemática] 4 [/ matemática], [matemática] p ^ { \ alpha} [/ math] y [math] 2p ^ {\ alpha} [/ math], donde [math] p [/ math] es un primo impar y [math] \ alpha \ in \ mathbb N [/ math ] Entonces [math] 26 = 2 \ cdot 13 [/ math] tiene una raíz primitiva .
Si [math] g [/ math] es una raíz primitiva de [math] m [/ math], entonces el conjunto de todas las raíces primitivas de [math] m [/ math] es [math] \ Big \ {g ^ k \ bmod m: 1 \ le k \ le \ phi (m), \ gcd \ big (k, \ phi (m) \ big) = 1 \ Big \} [/ math].
Suponga que [math] g [/ math] es una raíz primitiva para un primo impar [math] p [/ math]. Entonces exactamente uno de [math] g [/ math], [math] g + p [/ math] es impar ; deja que [math] g ^ {\ prime} [/ math] denote el que está entre [math] g [/ math], [math] g + p [/ math] que es impar . Ahora [math] \ gcd (g ^ {\ prime}, 2p) = 1 [/ math], y
[matemáticas] \ big (g ^ {\ prime} \ big) ^ k \ equiv 1 \ pmod {2p} \ Rightarrow \ big (g ^ {\ prime} \ big) ^ k \ equiv g ^ k \ equiv 1 \ pmod {p} \ Rightarrow (p-1) \ mid k [/ math],
- Deje la función f para la cual [matemática] \ mid f ‘(x) \ mid <[/ matemática] [matemática] e ^ {x} [/ matemática]. Si [matemática] a <b [/ matemática] prueba [matemática] \ mid f (b) -f (a) \ mid <e ^ {b} -e ^ {a} [/ math] usando el teorema de Lagrange?
- ¿Cuál es la raíz primitiva de 18? ¿Cómo lo calculo?
- ¿Cuál es el [math] \ int \ sin ^ n {x} dx [/ math]?
- Cómo dibujar la gráfica de [matemáticas] f (x) = e ^ {x ^ 2} [/ matemáticas]
- Si [math] \ sin x- \ cos x = \ dfrac {3} {5} [/ math], ¿qué es [math] \ cos (2x) [/ math]?
ya que [math] g [/ math] es una raíz primitiva de [math] p [/ math]. Como [math] \ phi (2p) = \ phi (p) = p-1 [/ math], se deduce que [math] g ^ {\ prime} [/ math] es una raíz primitiva de [math] 2p [ /matemáticas].
Es fácil ver que [math] 2 [/ math] es una raíz primitiva para [math] p = 13 [/ math]. Tenga en cuenta que [matemáticas] 2 ^ k \ equiv 1 \ pmod {13} [/ matemáticas] para [matemáticas] k \ mediados de 6 [/ matemáticas] implica [matemáticas] 2 ^ 6 \ equiv 1 \ pmod {13} [/ matemáticas ] Pero [matemáticas] 2 ^ 6 \ equiv -1 \ pmod {13} [/ matemáticas]. Por lo tanto, la [matemática] k [/ matemática] más pequeña para la cual [matemática] 2 ^ k \ equiv 1 \ pmod {13} [/ matemática] es [matemática] k = 12 = \ phi (13) [/ matemática].
Se deduce que [matemáticas] 2 + 13 = 15 [/ matemáticas] es una raíz primitiva de [matemáticas] 26 [/ matemáticas].
Todas las raíces primitivas de [math] 26 [/ math] están dadas por [math] \ {15 ^ k \ bmod 26: 1 \ le k \ le 12, \ gcd (k, 12) = 1 \} [/ math] . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
