Como señaló Romain, no siempre es cierto que [math] \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {x_i} {y_i} \ geq n [/ math].
Entonces, el siguiente paso es, ¿qué * podemos * probar? Lo mejor que puedes hacer con SOLO las restricciones
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n x_i = \ sum_ {i = 1} ^ n y_i [/ matemáticas]
[matemáticas] \ forall i \ x_i \ geq 0, y_i> 0 [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la raíz primitiva de 26? ¿Cómo lo calculo?
- Deje la función f para la cual [matemática] \ mid f ‘(x) \ mid <[/ matemática] [matemática] e ^ {x} [/ matemática]. Si [matemática] a <b [/ matemática] prueba [matemática] \ mid f (b) -f (a) \ mid <e ^ {b} -e ^ {a} [/ math] usando el teorema de Lagrange?
- ¿Cuál es la raíz primitiva de 18? ¿Cómo lo calculo?
- ¿Cuál es el [math] \ int \ sin ^ n {x} dx [/ math]?
- Cómo dibujar la gráfica de [matemáticas] f (x) = e ^ {x ^ 2} [/ matemáticas]
es demostrar que
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {x_i} {y_i} \ geq 1 [/ matemáticas]
Esto es fácil de probar usando el principio de pidgeonhole (debemos tener [math] x_i \ geq y_i [/ math] para al menos un i).
De hecho, puede obtener esta suma arbitrariamente cerca de 1, incluso para n grande. Para n números, deje que [math] x_1 = x_2 =… = x_ {n-1} = 0 [/ math], y [math] y_1 = y_2 =… = y_ {n-1} = 1 [/ math]. Luego configure [math] x_n = M [/ math] y [math] y_n = M- (n-1) [/ math]. Esto satisface las restricciones anteriores, y la suma [matemática] \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {x_i} {y_i} = \ frac {M} {M- (n-1)} [/ matemática]
que se puede hacer tan cerca de 1 como se desee haciendo M muy grande. Entonces, la relación k / d promedio se acercaría a [math] \ frac {1} {n}. [/ Math]
Ahora puede argumentar que lo anterior no es un escenario válido, ya que eso significaría que el jugador n se suicidó M- (n-1) veces.
Entonces, agreguemos otra restricción, ¿qué pasa si no permitimos los asesinatos automáticos?
Entonces * creo * que lo mejor que puedes probar es que
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {x_i} {y_i} \ geq 2 [/ matemáticas]
En este ejemplo, puede obtener esta suma arbitrariamente cerca de 2, incluso para n grande.
Para n números, sea [matemática] x_1 = x_2 =… = x_ {n-2} = 0 [/ matemática], y [matemática] y_1 = y_2 =… = y_ {n-2} = 2 [/ matemática]. Luego configure [math] x_ {n-1} = x_n = M [/ math], y [math] y_ {n-1} = y_n = M – (n-2) [/ math]. En este escenario, los jugadores 1 .. n-2 no mataron y fueron asesinados por los jugadores n-1 yn una vez cada uno, y los jugadores n-1 yn se mataron entre sí M veces cada uno. Esto satisface las restricciones anteriores, y la suma [matemática] \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {x_i} {y_i} = 2 \ frac {M} {M- (n-2)} [/ matemática]
Esto se puede hacer lo más cercano a 2 posible tomando M como muy grande. En otras palabras, la relación k / d promedio será aproximadamente [matemática] \ frac {2} {n}. [/ Matemática]
Dije que * creo * que el límite inferior es 2, porque todavía no tengo una prueba de que no puedes bajarlo si no permites las muertes. Lo resolveré cuando tenga tiempo y actualizaré esta publicación.