Aquí hay una manera directa de aprovechar la respuesta de Henning Breede:
Reclamación:
[matemáticas] \ exp (x) \ cdot \ exp (-x) = 1 [/ matemáticas]
Prueba:
- Cómo demostrar que esta integral [matemáticas] \ int _0 ^ 1 x \ sqrt {1+ \ frac {1} {x ^ 4}} dx [/ matemáticas] no converge
- ¿Cómo probarías que la relación promedio k / d de todos los jugadores se mantiene al menos 1? Supongamos que todos los contados tienen al menos una muerte.
- ¿Cuál es la raíz primitiva de 26? ¿Cómo lo calculo?
- Deje la función f para la cual [matemática] \ mid f ‘(x) \ mid <[/ matemática] [matemática] e ^ {x} [/ matemática]. Si [matemática] a <b [/ matemática] prueba [matemática] \ mid f (b) -f (a) \ mid <e ^ {b} -e ^ {a} [/ math] usando el teorema de Lagrange?
- ¿Cuál es la raíz primitiva de 18? ¿Cómo lo calculo?
[matemáticas] \ exp (x) \ cdot \ exp (-x) = \ left (\ sum_ {n \ in \ mathbb {N}} \ frac {x ^ n} {n!} \ right) \ cdot \ left (\ sum_ {n \ in \ mathbb {N}} (-1) ^ n \ frac {x ^ n} {n!} \ right) [/ math]
Si tenemos dos series de potencia [math] \ sum_ {n \ in \ mathbb {N}} a_n x ^ n [/ math] y [math] \ sum_ {n \ in \ mathbb {N}} b_n x ^ n [ / math] que convergen a [math] A (x) [/ math] y [math] B (x) [/ math], respectivamente, Y si al menos uno de ellos es absolutamente convergente, entonces podemos multiplicarlos por término para obtener una serie
[matemáticas] \ sum_ {n \ in \ mathbb {N}} c_n x ^ n [/ matemáticas]
que converge a [matemáticas] A (x) \ cdot B (x) [/ matemáticas] y cuyos coeficientes están dados por
[matemáticas] c_n = \ sum_ {k = 0} ^ n a_k b_ {nk} [/ matemáticas]
Aplicar esto a nuestra serie de potencias, que son absolutamente convergentes, nos da una serie con coeficientes.
[matemáticas] c_n = \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ k \ frac {1} {k!} \ cdot \ frac {1} {(nk)!} = \ frac {1} {n !} \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ k {n \ elegir k} [/ math]
Que son simplemente sumas alternas de coeficientes binomiales. Recordemos que para enteros positivos [matemáticas] n [/ matemáticas],
[matemáticas] (1 + x) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n {n \ elige k} x ^ k [/ matemáticas]. Conectar [matemática] x = -1 [/ matemática] proporciona exactamente la misma serie que [matemática] c_n / n! [/ Matemática], pero por supuesto [matemática] (1–1) ^ n = 0 [/ matemática] .
El único momento en que esto no funciona es cuando [math] n = 0 [/ math]. Ese término es bastante fácil, y [matemáticas] c_0 = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, nuestra serie multiplicada tiene un solo término distinto de cero: el primero, y es igual a 1. Según nuestra definición de serie de la función exponencial, entonces,
[matemáticas] \ exp (x) \ cdot \ exp (-x) = 1 [/ matemáticas]
Reclamación:
[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow – \ infty} \ exp (x) = 0 [/ matemáticas]
Prueba:
Es suficiente demostrar que la secuencia [math] {f_n} _ {n = 0} ^ \ infty [/ math] donde [math] f_n = exp (-n) [/ math] converge a cero. Recordando la definición de la convergencia de una secuencia infinita, dada alguna [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática], buscamos alguna [matemática] N \ in \ mathbb {N} [/ matemática] tal que [matemática] | f_n El | N [/ math]. Henning demostró que [math] \ exp (x) [/ math] no tiene límite superior; por lo tanto, podemos seleccionar [math] N [/ math] de modo que [math] \ exp (N)> 1 / \ epsilon [/ matemáticas]. Si [math] n> N [/ math], entonces [math] \ exp (n)> \ exp (N)> 1 / \ epsilon [/ math], y así [math] \ exp (-n) = \ frac {1} {\ exp (n)} <\ epsilon [/ math] basado en nuestra prueba anterior con la serie.
Tomado con el trabajo de Henning, esto muestra que [math] \ exp (x) [/ math] es surjective, y Henning ya mostró cómo la monotonicidad de [math] \ exp (x) [/ math] implica que también es inyectivo . ¡Todo listo!
EDITAR:
En realidad, solo por diversión, agregaré un poco más a esta respuesta. Podemos demostrar que la función es monótona de dos maneras, todas ellas bastante obvias.
Reclamación:
[matemáticas] \ exp (x) [/ matemáticas] es monótono para todos [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas]
Prueba:
Es suficiente demostrar que la derivada de [math] \ exp (x) [/ math] siempre es positiva. Podemos utilizar el hecho de que las series de potencia se pueden diferenciar término por término para descubrir que la derivada de la función es igual a la función misma, ya que [math] \ exp (x)> 0 [/ math] para todos [math] x> 0 [/ math] (obviamente, como cada término en su serie es positivo), tenemos que la derivada de la función es positiva para todos [math] x> 0 [/ math].
Reclamación:
[math] \ exp (x) [/ math] no tiene límites desde arriba.
Prueba:
Tenga en cuenta que [math] \ exp (x)> x [/ math] para todos [math] x> 0 [/ math], porque la expansión comienza con [math] 1 + x +… [/ math] y todos los términos son positivos Suponga que [math] \ exp (x) L [/ math] entonces
[matemáticas] \ exp (x)> \ exp (L)> L [/ matemáticas]
entonces tenemos una contradicción, y se deduce que [math] \ exp (x) [/ math] no tiene límites desde arriba.
Resumen:
En mi edición, demostré que [math] \ exp (x) [/ math] está acotado desde arriba. En el proceso descubrimos que la función era igual a su propia derivada, por lo tanto, si alguna vez fuera negativa, continuaría disminuyendo para siempre. Como obviamente no es así, concluimos que la función siempre es no negativa.
Volviendo al comienzo de mi respuesta, esta es suficiente munición para demostrar que el límite de la función como [math] x \ rightarrow – \ infty [/ math] es [math] 0 [/ math]. Esto implica que es sobreyectivo, y su monotonicidad implica que es inyectivo. Nada de esto se basa en otra cosa que no sea la definición de serie de potencia que proporcionó.