Cómo demostrar que esta integral [matemáticas] \ int _0 ^ 1 x \ sqrt {1+ \ frac {1} {x ^ 4}} dx [/ matemáticas] no converge

Answer 1

Tenga en cuenta que para todas [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] \ sqrt {1+ \ dfrac {1} {x ^ 4}}> \ sqrt {\ dfrac {1} {x ^ 4} } = \ dfrac {1} {x ^ 2} [/ math]. Por lo tanto, si [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas], entonces uno tiene [matemáticas] x \ sqrt {1+ \ dfrac {1} {x ^ 4}}> x \ dfrac {1} {x ^ 2} = \ dfrac {1} {x} [/ math].

Considere la integral [matemáticas] I: = \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ dfrac {1} {x} \ mathrm {dx} [/ math]. Como [math] I [/ math] es una integral impropia, definimos [math] I [/ math] como

[matemáticas] I: = \ displaystyle \ lim_ {a \ a 0 ^ +} \ int_a ^ 1 \ dfrac {1} {x} \ mathrm {dx} [/ math]

Por lo tanto, [matemática] I = \ displaystyle \ lim_ {a \ a 0 ^ +} \ left (\ log 1- \ log a \ right) = + \ infty [/ math].

Por lo tanto, la integral [math] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ dfrac {1} {x} \ mathrm {dx} [/ math] diverge.

Desde [math] x \ sqrt {1+ \ dfrac {1} {x ^ 4}}> \ dfrac {1} {x} \ ge 0 [/ math] y la integral [math] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ dfrac {1} {x} \ mathrm {dx} [/ math] diverge, la integral [math] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 x \ sqrt {1+ \ dfrac {1} {x ^ 4}} \ mathrm {dx } [/ math] también diverge.

Answer 2

Utilice [matemáticas] x ^ 2 + \ frac 1 {x ^ 2}> x ^ 2–2 + \ frac 1 {x ^ 2} = (\ frac 1 x -x) ^ 2, x \ in (0,1 ] [/ math] donde [math] \ forall x \ in (0,1]: \ frac 1 x -x \ ge 0 [/ math]. Entonces uno puede escribir

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ displaystyle \ int \ limits_0 ^ 1 x \ sqrt {1+ \ frac 1 {x ^ 4}} \, \ mathrm dx & = & \ int \ limits_0 ^ 1 \ sqrt {x ^ 2 + \ frac 1 {x ^ 2}} \, \ mathrm dx \\ &> & \ int \ limits_0 ^ 1 \ sqrt {x ^ 2–2 + \ frac 1 {x ^ 2}} \, \ mathrm dx \\ & = & \ int \ limits_0 ^ 1 \ sqrt {(\ frac 1 {x} -x) ^ 2} \, \ mathrm dx \\ & = & \ int \ limits_0 ^ 1 \ frac 1 {x} -x \, \ mathrm dx \ end {eqnarray *} [/ math]

donde la última integral es claramente divergente.

Answer 3

Vamos a simplificar la función:

[matemáticas] f (x) = x \ sqrt {1+ \ frac {1} {x ^ 4}} = x \ sqrt {\ frac {1 + x ^ 4} {x ^ 4}} = \ frac {x } {x ^ 2} \ sqrt {1 + x ^ 4} = \ frac {1} {x} \ sqrt {1 + x ^ 4} [/ math]

Es fácil ver que para los valores de x entre [0,1] [matemáticas] f (x) \ geq \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

y dado que la integral [matemática] \ int \ frac {1} {x} dx [/ matemática] no es integrable alrededor de 0, es obvio que la integral anterior tampoco es integrable.

Answer 4

Usas equivalentes. Dado que [matemáticas] \ sqrt {1+ \ frac {1} {x ^ 4}} \ underset {x \ to 0} {\ sim} \ frac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas] esto significa que el integrando es equivalente a

[matemáticas] \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

cerca de 0, que no es integrable.

Puede simplemente factorizarlo: [matemáticas] x \ sqrt {1+ \ frac {1} {x ^ 4}} = \ frac {1} {x} \ sqrt {1 + x ^ 4}> \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

Entonces queda claro.

Answer 5

Las otras respuestas dan soluciones perfectamente razonables.

Mi primer pensamiento fue decir

[matemáticas] \ int_0 ^ 1x \ sqrt {1+ \ frac {1} {x ^ 4}} \ rm {dx} = \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {x} \ sqrt {x ^ 4 + 1} \ rm {dx} [/ math]

Luego vinculamos esta integral (ya que [math] x [/ math] no cambia el signo y, por lo tanto, ninguna parte del integrando cambia el signo, por lo que no hay dificultades asociadas con esto)

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {x} \ sqrt {x ^ 4 + 1} \ rm {dx} \ geqslant \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {x} \ rm {dx} [/ matemáticas]

Hice uso de esa [matemática] \ forall x \ en [0,1] \ sqrt {x ^ 4 + 1} \ geqslant 1 [/ math] para hacer ese límite. Y ahora hacemos uso del hecho de que ya sabemos que el

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {x} \ rm {dx} [/ matemáticas]

no converge Como este es un límite inferior para nuestra integral de interés, esa integral tampoco puede converger.

Answer 6

Creo que está permitido reescribir el integrando como [math] 1 / x \ cdot \ sqrt {1 + x ^ 4} [/ math] y argumentar que el segundo término se acerca rápidamente a 1 en el origen. Entonces te queda una integral claramente divergente de [matemáticas] 1 / x [/ matemáticas].

En este caso, también puedes encontrar el antiderivado, pero no es muy divertido.