¿Cómo es la fracción 2/3 igual a 4/6? ¿Y cómo los llamamos fracciones equivalentes aunque 4/6 = 2/2 * 2/3?

Answer 1

La fracción [matemática] \ frac23 [/ matemática] es igual a la fracción [matemática] \ frac46 [/ matemática] porque ambas evalúan al mismo número llamado dos tercios. Esas son dos de las muchas representaciones diferentes para ese número que incluyen la representación decimal [matemática] 0. \ overline {6} \ equiv0.666 \ dotsc [/ math] y la expresión aritmética [math] 1- \ frac13 [/ math ]

Las fracciones en sí no son lo mismo, al igual que cuatro trimestres no es lo mismo que un dólar de plata, aunque tienen el mismo valor.

Los números racionales representados por [matemáticas] \ frac23 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac46 [/ matemáticas], sin embargo, son el mismo número racional. Esto se debe a que el conjunto de números racionales, [math] \ mathbb Q [/ math], se define de manera tal que:

[matemática] \ quad \ displaystyle \ frac {a} {b} \ equiv \ frac {c} {d} [/ math] si y solo si [math] a \ times d = b \ times c [/ math]

donde [math] a, c \ in \ mathbb Z [/ math] son ​​números enteros y [math] b, d \ in \ mathbb N ^ + [/ math] son ​​números naturales distintos de cero.

Ese es un número racional es una clase de equivalencia de pares de números enteros [matemática] (a, b) [/ matemática]. Por lo general, elegimos un representante de la clase en la que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​primos (no tienen factores comunes), entonces [matemática] \ frac23 [/ matemática] en lugar de [matemática] \ frac46 [/ matemática] ya que [matemática] 4 [/ matemática] y [matemática] 6 [/ matemática] tienen un factor común de [matemática] 2 [/ matemática].

El término “fracción” puede aplicarse a muchas cosas que no sean números racionales, incluyendo cosas como [matemáticas] \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {1-x ^ 2} {1+ x ^ 2} [/ matemáticas]. Es una palabra bastante poco definida. Un poco como “número” que puede sorprenderle si cree que las matemáticas son solo “números” …

Answer 2

Mira la pendiente de la línea negra en el diagrama. La pendiente se expresa como el cambio de altura sobre el cambio de longitud, una relación.

Expresado como una fracción, observando el par de paréntesis más pequeño, vemos que la pendiente es [matemática] 2/3 [/ matemática].

Pero cuando miramos el par de paréntesis más grande, vemos que la misma pendiente también es [matemática] 4/6 [/ matemática].

Podemos ver que la línea de pendiente se puede combinar con los segmentos de línea horizontal y vertical marcados por los corchetes para formar dos triángulos anidados. Ambos triángulos comparten el vértice en la esquina inferior izquierda del diagrama.

Si alguna vez ha usado una herramienta de dibujo en una computadora, una característica generalmente disponible es la capacidad de agrandar una forma. Hice los corchetes, los apreté para hacerlos más planos, luego los estiré hasta la longitud que necesitaba. Si bien estas acciones cambiaron una dimensión a la vez, las herramientas de dibujo también le permiten hacer clic en una esquina y arrastrarla para agrandar una forma en dos dimensiones a la vez, manteniendo la misma proporción.

El triángulo podría haberse dibujado en [matemáticas] 2/3 [/ matemáticas], luego ampliado para coincidir con la forma más grande, [matemáticas] 4/6 [/ matemáticas]. La escala de ampliación es 2. Cada longitud se duplica.

Y esa duplicación se expresa como [matemáticas] (2/2) * (2/3) = (2 * 2) / (2 * 3) = 4/6 [/ matemáticas].

Answer 3

Fracciones equivalentes significa fracciones que son iguales entre sí o que tienen el mismo valor, incluso si se ven diferentes. La razón por la que esto funciona es bastante simple.

Cuando observa una fracción como 1/2, puede ver fácilmente cómo se puede representar. Si corto esa pizza en 4 trozos en lugar de 2, todavía puedo comer la mitad de esa pizza pero ahora tengo 2 rebanadas más pequeñas en lugar de una grande. En lugar de comer 1/2 (una de cada dos piezas) estaré comiendo 2/4 (dos de cada cuatro piezas). Estoy comiendo la misma cantidad, pero la fracción está escrita de manera diferente.

La forma de hacer fracciones equivalentes es multiplicando el numerador (número superior) y el denominador (número inferior) por el mismo número. Cuando el numerador y el denominador son iguales, siempre es igual a 1 entero. Si comes 1 de 1 pedazo de pizza, te comes todo. 2/2 = 1, 3/3 = 1, 4/4 = 1, etc. Y una regla de las matemáticas es que cualquier número multiplicado por 1 sigue siendo el mismo.

2/3 x 2/2 = 4/6 porque 2/2 es lo mismo que uno. Multiplica los numeradores juntos, 2 × 2 = 4 y los denominadores juntos, 3 × 2 = 6 y terminas con 4/6. Técnicamente multiplicó 2/3 por 1 para que el valor no haya cambiado, solo la forma en que lo representó ha cambiado.

Answer 4

Las otras respuestas no parecen explicar qué Fracciones SON.

Entonces, ¿qué es 2/3? Bueno, considere la ecuación 3x = 2. ¿Cuál es el valor de x que resuelve esta ecuación? En tiempos prehistóricos esa ecuación no tenía solución, porque ningún entero x satisface esta ecuación.

Entonces “inventamos” fracciones. Dividimos por 3 en ambos lados y obtenemos x = 2/3. Ahora, puede considerar esta expresión como un problema de división que está “inacabado”, pero prefiero considerarlo un símbolo. En otras palabras, postulamos que hay un valor único de x que satisface 3x = 2, e inventamos el símbolo 2/3 para representar este valor.

Del mismo modo, inventamos el símbolo 4/6 para representar la solución única para 6x = 4.

Y ahora pregunta, ¿cómo se comparan estos valores 2/3 y 4/6? ¿Son iguales? ¿Por qué?

Bueno, tome la primera ecuación 3x = 2 y multiplique por 2 en ambos lados. Esto no cambia la solución, aunque la ecuación cambia. De hecho, ahora cambia a 6x = 4. Esto prueba que las dos ecuaciones tienen la misma solución y, por lo tanto, 2/3 = 4/6.

Answer 5

Deje que [math] a [/ math] y [math] b [/ math] sean enteros. Considere cualquier par de dos enteros tales que el segundo no sea cero.

Definamos una relación de equivalencia en estos pares. Consideramos [math] (a, b) [/ math] y [math] (c, d) [/ math] equivalente, escrito [math] (a, b) \ sim (c, d) [/ math], si [math] ad = bc [/ math].

Por ejemplo, [matemáticas] (1,1) \ sim (5,5) [/ matemáticas], [matemáticas] (25, -20) \ sim (-100,80) [/ matemáticas], [matemáticas] (0 , 9) \ sim (0, -2) [/ matemáticas].

Ahora definimos la suma y multiplicación de dos de estos pares de la siguiente manera:

[matemáticas] (a, b) \ oplus (c, d) = (ad + bc, bd) [/ matemáticas]

[matemáticas] (a, b) \ odot (c, d) = (ac, bd) [/ matemáticas]

Por ejemplo, [matemáticas] (5,2) \ oplus (6, -1) = (7, -2) [/ matemáticas], [matemáticas] (80,30) \ oplus (-5, -7) = ( -710, -210) \ sim (71,21) [/ matemáticas], [matemáticas] (6, -4) \ odot (-9,3) = (- 54, -12) \ sim (9,2) [/ math], [math] (0, -900) \ odot (78, -45) = (0,40500) \ sim (0,1) [/ math].

Acabamos de definir lo que la gente llama ‘fracciones’ . Las únicas diferencias son que generalmente escribimos [matemáticas] \ frac {a} {b} [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas], [matemáticas] = [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas ] \ sim [/ math], [math] + [/ math] en lugar de [math] \ oplus [/ math] y [math] \ times [/ math] o [math] \ cdot [/ math] en lugar de [ matemáticas] \ odot [/ matemáticas].

Por lo tanto, por definición de la relación de equivalencia [matemática] \ sim [/ matemática], dos fracciones [matemática] \ frac {a} {b} [/ matemática] y [matemática] \ frac {c} {d} [/ matemática ] son ​​iguales si [math] ad = bc [/ math]. Por eso [matemáticas] \ frac {2} {3} = \ frac {4} {6} [/ matemáticas]: porque [matemáticas] 2 \ veces 6 = 3 \ veces 4 [/ matemáticas]. Del mismo modo, [math] \ frac {2} {2} \ times \ frac {2} {3} = \ frac {4} {6} [/ math] porque [math] (2,2) \ odot (2, 3) = (4,6) [/ math] por definición de [math] \ odot [/ math].

Answer 6

Pasaré a la parte importante de esta pregunta:

¿Cómo los llamamos fracciones equivalentes aunque [matemáticas] \ frac {4} {6} = \ frac {2} {2} \ veces \ frac {2} {3} [/ matemáticas]?

Vamos a desglosar esto:

[matemáticas] \ frac {4} {6} = \ frac {2} {2} \ veces \ frac {2} {3} [/ matemáticas]

Es bien sabido que [math] \ frac {x} {x} = 1 \ forall x \ neq 0 [/ math]

En términos simples, cualquier cosa excepto [matemáticas] 0 [/ matemáticas] dividido por sí mismo es [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Entonces podemos simplificar la ecuación a esto:

[matemáticas] \ frac {4} {6} = 1 \ veces \ frac {2} {3} [/ matemáticas]

También es bien sabido que [matemáticas] x = 1 * x [/ matemáticas]. Entonces podemos simplificar [matemáticas] 1 \ veces \ frac {2} {3} [/ matemáticas] en solo [matemáticas] \ frac {2} {3} [/ matemáticas].

Por lo tanto, hemos simplificado la ecuación que dio en:

[matemáticas] \ frac {4} {6} = \ frac {2} {3} [/ matemáticas]

Answer 7

Aquí hay una imagen que representa una fracción. Dime, ¿es esta una foto de 2/3 o de 4/6?

¿Se colorean 2/3 del rectángulo? si

¿Está coloreado 4/6 del rectángulo? si

Answer 8

Solo por esto:

[matemáticas] \ frac {x} {x} = 1 \ mid \ forall x \ in \ R \ setminus {0} [/ math]

Por lo tanto, [matemática] \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {2} {2} = \ frac {2} {3} \ cdot 1 [/ matemática]

Pero también puede calcular [matemáticas] \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {2} {2} [/ matemáticas] normalmente y cómo multiplicar fracciones? [matemáticas] \ frac {numerador_ {1} \ cdot numerador_ {2}} {denominador_ {1} \ cdot denominador_ {2}} [/ matemáticas]

Entonces tenemos [matemáticas] \ frac {2} {3} = \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {2} {2} = \ frac {4} {6} = \ frac {8} {12 } = \ frac {16} {24} = \ frac {20} {30} = \ ldots = \ frac {2x} {3x} \ mid x \ in \ R \ setminus {0} [/ math]

Answer 9

[matemáticas] \ dfrac {2} {3} = \ dfrac {4} {6} [/ matemáticas]

Aunque los llamamos fracciones equivalentes [math] \ dfrac {4} {6} = \ dfrac {2} {2} \ times \ dfrac {2} {3} [/ math] porque [math] \ dfrac {2} { 2} = 1 [/ matemáticas]

¡Espero eso ayude!

Answer 10

2/3 y 4/6 son fracciones iguales (que tienen los mismos valores)

[matemáticas] \ frac {2} {3} = \ frac {2 * 2} {3 * 2} = \ frac {4} {6} [/ matemáticas]