Si p, q son raíces imaginarias de la unidad, demuestre que p ^ 2 + q ^ 2-pq = -2?

No voy a dar la solución completa aquí, solo te guiaré allí. Primero hagamos algo de simplificación.

[matemáticas] p ^ 2 + q ^ 2 – pq = (p + q) ^ 2 – 3pq [/ matemáticas]

Si conocemos la suma [matemática] p + q [/ matemática] y el producto [matemática] pq [/ matemática], entonces tenemos nuestra respuesta.

Todas las raíces de la unidad satisfacen la ecuación: [matemáticas] x ^ 3–1 = (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 [/ matemáticas]

Si pyq son las raíces imaginarias, entonces satisfacen la ecuación: [matemática] (x ^ 2 + x + 1) = 0 [/ matemática]

Ahora, esta es una ecuación cuadrática de la forma [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática], donde la suma de las raíces y el producto de las raíces se pueden calcular fácilmente. Eso sería un ejercicio en sí mismo, pero la suma de las raíces es igual a [matemáticas] – \ frac {b} {a} [/ matemáticas], y el producto de las raíces es igual a [matemáticas] \ frac {c } {a} [/ matemáticas]. Este es un resultado importante y creo que muchos estudiantes que aprenden ecuaciones cuadráticas no prestan la debida atención.

Ahora, use este principio para calcular la suma [matemática] p + q [/ matemática] y el producto [matemática] pq [/ matemática]. Luego, ¡conéctelos a la primera ecuación de esta respuesta! Voila

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