Una secuencia [math] \ {s_n \} [/ math] de números reales converge a [math] \ ell \ in \ mathbb R [/ math], si corresponde a cualquier [math] \ epsilon> 0 [/ math], podemos encontrar un número entero positivo [matemáticas] N _ {\ epsilon} [/ matemáticas] [matemáticas] ([/ matemáticas] que depende de [matemáticas] \ epsilón [/ matemáticas] [matemáticas]) [/ matemáticas] tal que
[math] s_n \ in \ big (\ ell- \ epsilon, \ ell + \ epsilon \ big) [/ math] siempre que [math] n> N _ {\ epsilon} \ ldots (1) [/ math]
Un método estándar para demostrar la convergencia de una secuencia real [math] \ {s_n \} [/ math] es mostrar que está aumentando monotónicamente y acotado arriba , o mostrar que está disminuyendo monotónicamente y acotado abajo . Estas propiedades solo deben ser válidas para todos los valores suficientemente grandes de [math] n [/ math] , por lo que desde cierto punto en la secuencia en adelante . Por lo tanto, debemos tener uno de
[math] s_ {n + 1} \ ge s_n [/ math] y [math] s_n \ le M_1 [/ math] para todos [math] n> N_1 [/ math] [math] (N_1 \ in \ mathbb N )[/matemáticas],
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[matemática] s_ {n + 1} \ le s_n [/ matemática] y [matemática] s_n \ ge M_2 [/ matemática] para todos [matemática] n> N_2 [/ matemática] [matemática] (N_2 \ in \ mathbb N )[/matemáticas].
Las secuencias convergentes tienen un límite único , por lo que tiene sentido escribir
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} s_n = \ ell [/ math]
siempre que [math] (1) [/ math] se mantenga.
El cálculo del límite, siempre que exista, suele ser la parte más fácil (y más mecánica) del proceso de determinar si una secuencia es convergente o no. Es habitual ignorar la parte más difícil de justificar la convergencia de una secuencia en preguntas relacionadas con los límites de las secuencias. Sin embargo, sin la parte crucial de esta justificación, el mero cálculo del límite no tiene sentido, ya que el número que se acaba de calcular puede no ser el límite de la secuencia. De hecho, ¡no es el límite de una secuencia no convergente!
Primero probaré que cada secuencia está aumentando / disminuyendo monotónicamente y limitada por encima / por debajo . Eso significará que cada secuencia es convergente , lo que justifica la existencia de cada límite calculado.
[matemáticas] # 2.47 [/ matemáticas]
Prueba de convergencia.
Observe que [math] u_1 = 1 <2 [/ math], y eso, suponiendo que [math] u_n 1 [/ math],
[matemáticas] u_ {n + 1} = \ sqrt {u_n + 1} <\ sqrt {3} <2 [/ matemáticas].
Por lo tanto, [math] u_n <2 [/ math] para cada [math] n \ ge 1 [/ math] por inducción matemática .
De hecho, necesitamos más para mostrar que la secuencia [matemáticas] \ {u_n \} [/ matemáticas] está aumentando monotónicamente .
Deje [math] \ alpha \ big (= \ frac {1} {2} (1+ \ sqrt {5}) \ big) [/ math] y [math] \ beta \ big (= \ frac {1} { 2} (1- \ sqrt {5}) \ big) [/ math] denota las raíces de la ecuación [math] x ^ 2-x-1 = 0 [/ math]. Así
[matemática] {\ alpha} ^ 2 = {\ alpha} +1 [/ matemática] y [matemática] {\ beta} ^ 2 = {\ beta} +1 [/ matemática].
Tenga en cuenta que [math] \ beta <u_1 <\ alpha [/ math]. Suponga que [math] \ beta <u_n <\ alpha [/ math] para algunos [math] n \ ge 1 [/ math]. Entonces de [math] 1+ \ beta <1 + u_n <1+ \ alpha [/ math] tenemos
[matemáticas] \ beta = \ sqrt {1+ \ beta} <\ sqrt {1 + u_n} <\ sqrt {1+ \ alpha} = \ alpha [/ math].
Por lo tanto, [math] \ beta <u_n <\ alpha [/ math] para cada [math] n \ ge 1 [/ math] por inducción matemática .
Para mostrar que la secuencia [matemáticas] \ {u_n \} [/ matemáticas] está aumentando monotónicamente , tenga en cuenta que
[matemáticas] u_ {n + 1}> u_n \ Leftrightarrow u_n + 1> u_n ^ 2 \ Leftrightarrow u_n ^ 2-u_n-1 <0 \ Leftrightarrow \ big (u_n- \ beta \ big) \ big (u_n- \ alpha \ big) <0 [/ math].
La última desigualdad se mantiene desde [math] \ beta <u_n <\ alpha [/ math].
Esto muestra que la secuencia [math] \ {u_n \} [/ math] es monotónicamente arrugada y acotada arriba , y por lo tanto convergente .
Cálculo del límite.
Si [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} u_n = \ ell [/ math], entonces dado que la función [math] x \ mapsto \ sqrt {x} [/ math] es continua en [math] [ 0, \ infty) [/ math] y como [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ big (u_n + 1 \ big) = \ ell + 1 [/ math], la ecuación de recurrencia implica
[matemáticas] \ ell = \ sqrt {\ ell + 1} [/ matemáticas].
Al elevar al cuadrado y tomar la raíz positiva de la ecuación cuadrática resultante se obtiene [matemática] \ ell = \ frac {1} {2} \ big (1+ \ sqrt {5} \ big) [/ math].
[matemáticas] # 2.48 [/ matemáticas]
Prueba de convergencia.
Observe que [matemáticas] u_1> 0 [/ matemáticas]. Suponiendo que [math] u_n> 0 [/ math], queda claro por la recurrencia que [math] u_ {n + 1}> 0 [/ math]. Por lo tanto, [math] u_n> 0 [/ math] para cada [math] n \ ge 1 [/ math] por inducción matemática .
Dado que [math] u_ {n + 1} [/ math] es la media aritmética de [math] u_n [/ math] y [math] p / u_n [/ math], y dado que la media aritmética es mayor o igual que la media geométrica , tenemos
[math] u_ {n + 1} \ ge \ sqrt {p} [/ math] para cada [math] n \ ge 1 [/ math].
Por lo tanto, la secuencia [math] \ {u_n \} [/ math] está delimitada a continuación por [math] \ sqrt {p} [/ math].
Para mostrar que la secuencia [matemáticas] \ {u_n \} [/ matemáticas] está disminuyendo monotónicamente , tenga en cuenta que
[matemáticas] u_n – u_ {n + 1} = u_n – \ dfrac {1} {2} \ left (u_n + \ dfrac {p} {u_n} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} \ left (u_n – \ dfrac {p} {u_n} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ ge 0 [/ matemáticas],
desde [math] u_n ^ 2 \ ge p [/ math] y [math] u_n> 0 [/ math].
Esto muestra que la secuencia [math] \ {u_n \} [/ math] está disminuyendo monotónicamente y limitada a continuación , y por lo tanto convergente .
Cálculo del límite.
Si [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} u_n = \ ell [/ math], entonces la ecuación de recurrencia implica
[math] \ ell = \ dfrac {1} {2} \ left (\ ell + \ dfrac {p} {\ ell} \ right) [/ math].
Resolver esto fácilmente produce [math] \ ell = \ sqrt {p} [/ math].
Una secuencia de números racionales que converge a [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática] , y su conexión con soluciones a la ecuación diofantina [matemática] x ^ 2–2y ^ 2 = 1 [/ matemática] .
La secuencia
[math] u_ {n + 1} = \ dfrac {1} {2} \ left (u_n + \ dfrac {2} {u_n} \ right) [/ math] para [math] n> 1 [/ math], con [matemáticas] u_1 = 1 [/ matemáticas]
converge a [math] \ sqrt {2} [/ math].
Los primeros cuatro términos de la secuencia son
[matemáticas] 1, \ dfrac {3} {2}, \ dfrac {17} {12}, \ dfrac {577} {408} \ ldots (2) [/ matemáticas]
Las fracciones consecutivas [matemáticas] p_n / q_n [/ matemáticas], [matemáticas] p_ {n + 1} / q_ {n + 1} [/ matemáticas] satisfacen la ecuación
[matemáticas] p_ {n + 1} + q_ {n + 1} \ sqrt {2} = \ big (p_n + q_n \ sqrt {2} \ big) ^ 2 [/ math],
y cada fracción [matemática] p_n / q_n [/ matemática] excepto la primera satisface la ecuación
[matemáticas] p_n ^ 2–2q_n ^ 2 = 1 [/ matemáticas].
Por cierto, estos son términos en la secuencia de convergentes a [math] \ sqrt {2} [/ math] dados por la fracción continua periódica [math] \ big [1, \ overline {2} \ big] [/ math]:
[matemáticas] 1, \ dfrac {3} {2}, \ dfrac {7} {5}, \ dfrac {17} {12}, \ dfrac {41} {29}, \ dfrac {99} {70}, \ ldots [/ math]
Ver también la respuesta de Amitabha Tripathi a 1, 2, 5, 12, 29 … ¿Cuál será el próximo número?
