Puedes mostrarlo de una manera diferente.
Primer paso: diferenciar la expresión
[matemáticas] f ‘= – 1 / \ sqrt {e} + xe ^ {- x ^ 2/2} [/ matemáticas]
La derivada es cero en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]
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Para mostrar que este es el único posible punto extremo sospechoso, primero tenga en cuenta que para todas [matemáticas] x 0 [/ matemáticas]. Ahora encuentra la segunda derivada
[matemáticas] f ” = e ^ {- x ^ 2/2} (1-x ^ 2) [/ matemáticas]
Para todos [matemática] x> 1 [/ matemática] [matemática] f ” <0 [/ matemática], mientras que para todos [matemática] | x | 0 [/ matemáticas]. Esto significa que para todas [matemáticas] x <1 [/ matemáticas] [matemáticas] f '(x) 1 [/ matemáticas] [matemáticas ] f ‘(x) <f' (1) = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] es el único punto sospechoso de ser un extremo.
Para saber si [math] x = 1 [/ math] es un punto máximo, mínimo o de silla de montar, simplemente podemos elegir algunos [math] x> 1 [/ math] y algunos [math] x <1 [/ math] y evaluar la función allí.
Ahora encontramos que
[matemáticas] f (1) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (-7) = \ frac {9} {\ sqrt {e}} – e ^ {- 49/2}> \ frac {9} {3} -1> 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (2) = – e ^ {- 2} <0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] x = 1 [/ math] es un punto de silla de montar. Esto significa que la función está disminuyendo estrictamente y la prueba está hecha.