Cómo demostrar que [math] \ mathcal {L} _t [\ sqrt {t}] (s) = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2s ^ {3/2}}, [/ math] sin usar Función gamma

Answer 1

Creo que encontré la respuesta a mi propia pregunta usando la integral de Gauss:

[matemáticas] \ matemáticas {L} _t [\ sqrt {t}] (s) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} \ sqrt {t} \ mathrm {dt} [/ matemáticas]

Deje [math] s \ cdot t = u [/ math] [math] \ implica du = s dt \ implica dt = \ frac {du} {s} [/ math]

[matemáticas] \ sqrt {t} = \ frac {\ sqrt {u}} {\ sqrt {s}} [/ matemáticas]

La integral se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} \ frac {\ sqrt {u}} {\ sqrt {s}} \ frac {du} {s} = \ frac {1 } {s ^ {\ frac {3} {2}}} \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} \ sqrt {u} du [/ math]

Deje [math] u = x ^ 2 [/ math] y [math] du = 2x dx [/ math]

Y terminaremos con una integración por parte con [math] u = x [/ math] y [math] v ‘= xe ^ {- x ^ 2} [/ math]:

[matemáticas] \ frac {1} {s ^ {\ frac {3} {2}}} \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ 2} 2x ^ 2 dx = \ frac {2} {s ^ {\ frac {3} {2}}} \ left ([- \ frac {1} {2} xe ^ {- x ^ 2}] _ 0 ^ \ infty – \ int_ {0} ^ {\ infty } – \ frac {1} {2} e ^ {- x ^ 2} dx \ right) = \ frac {-1} {s ^ \ frac {3} {2}} \ left ((0-0) – \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ right) = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2s ^ \ frac {3} {2}} [/ math].