¿Qué significa el término ‘y es una función continua de x’ en matemáticas?

Answer 1

Esa es una declaración incompleta. Una función requiere un dominio y un codominio.

[matemáticas] y: A \ a B [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ a y (x) [/ matemáticas]

Sería una función así. Sin embargo, al preguntar qué significa la función continua, es aconsejable no dar una definición general sino un caso especial.

[matemáticas] f: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R} [/ math]

[matemáticas] x \ mapsto f (x) [/ matemáticas]

Una definición de continuidad es la definición epsilon-delta.

epsilon [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas] y delta [matemáticas] \ delta [/ matemáticas]

Ahora llamaríamos [math] f [/ math] continuo a [math] x_0 [/ math] si:

para todos [math] \ epsilon> 0 [/ math] podemos elegir un [math] \ delta> 0 [/ math]

De modo que si [math] \ vert x-x_0 \ vert [/ math] implica que [math] \ vert f (x) -f (x_0) \ vert <\ epsilon [/ math]

Tenga en cuenta que [math] \ epsilon [/ math] puede ser tan pequeño como queramos y todavía podemos encontrar un [math] \ delta [/ math].

Pero no tenemos idea de cuán pequeño debe ser [math] \ delta [/ math], solo que existe.

Si cambiamos [math] \ epsilon [/ math] a [math] \ frac {1} {2} \ epsilon [/ math] podría ser necesario elegir [math] \ frac {1} {10 ^ 9} \ delta [/ math] ahora.

La función [math] f [/ math] ahora se llama continua si es continua para todas [math] x_0 \ en X [/ math].

Entonces, una función puede ser continua en un solo punto. Y una función continua no puede ser diferenciable en ninguna parte.

Puede generalizarlo fácilmente a dimensiones más altas y espacios métricos. El más general requiere topología.

Answer 2

Prefiero etiquetar mis funciones por [math] f [/ math], así que lo haré. Supongo que está hablando de una función que asigna números reales a números reales, por lo que [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math]. Intuitivamente, el gráfico de una función continua se puede dibujar sin quitar el lápiz del papel. Sin embargo, esta no es una definición viable en matemáticas.

Si busca la definición de continuidad en un punto [math] x_0 \ in \ mathbb {R} [/ math], probablemente obtendrá lo siguiente:

Una función [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] es continua en [math] x_0 \ in \ R [/ math] si para todo [math] \ epsilon> 0 [/ matemática] existe una [matemática] \ delta> 0 [/ matemática] tal que para todas [matemática] x \ in \ R [/ matemática], [matemática] | x-x_0 | <\ delta [/ matemática] implica que [matemáticas] | f (x) -f (x_0) | <\ epsilon [/ math].

Esto puede ser difícil de entender, entonces, ¿qué significa exactamente? Piense en [math] \ epsilon [/ math] como un número real pequeño fijo. Ahora quiero encontrar otro pequeño número real [math] \ delta [/ math], de modo que si un punto [math] x \ in \ R [/ math] está más cerca que [math] \ delta [/ math] a [ matemática] x_0 [/ matemática] (es decir, [matemática] | x-x_0 | <\ delta [/ matemática]), luego los valores de función [matemática] f (x_0) [/ matemática] y [matemática] f (x) [ / math] están más cerca el uno del otro que [math] \ epsilon [/ math] (es decir, [math] | f (x) -f (x_0) | <\ epsilon [/ math]).

Intuitivamente, esto debe entenderse como: [matemática] f [/ matemática] es continua en [matemática] x_0 [/ matemática] si todos los puntos que se encuentran cerca de [matemática] x_0 [/ matemática] se asignan a un punto que se encuentra cerca de [matemáticas] f (x_0) [/ matemáticas].

Ahora decimos que [math] f [/ math] es continuo si [math] f [/ math] es continuo en absoluto [math] x_0 \ in \ R [/ math].

---

Sin embargo, hay muchas más formas de caracterizar la continuidad de las funciones. La primera que puede encontrar es la siguiente forma equivalente de caracterizar la continuidad de las funciones [matemáticas] f: \ R \ to \ R [/ matemáticas]:

Una función [matemática] f: \ R \ to \ R [/ matemática] es continua en [matemática] x_0 [/ matemática] si para cada secuencia [matemática] (x_n) _ {n \ in \ N} [/ matemática] con [math] \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = x_0 [/ math], tenemos [math] \ lim_ {n \ to \ infty} f (x_n) = f (x_0) [/ math].

Esto debe leerse ya que para cada secuencia que converge a [matemática] x_0 [/ matemática], los valores de la función deben converger a [matemática] f (x_0) [/ matemática]. En un primer curso en análisis real se demostraría que estas definiciones son de hecho equivalentes. En cursos posteriores, la noción de continuidad puede ampliarse a espacios métricos, e incluso a espacios topológicos generales.

Answer 3

Esta afirmación significa que la gráfica de y es continua para el dominio de x.

En palabras simples significa que no hay puntos de ruptura en su gráfico.

Por ejemplo:

[matemáticas] e ^ x, senx, lnx, y = mx + c [/ matemáticas]

Answer 4

En lenguaje simple significa que y es una función que contiene x como única variable y se define para todos los números reales, es decir, desde infinito negativo hasta infinito positivo (paréntesis abierto). Además, cuando graficamos la gráfica de y no tenemos que levantar nuestra pluma.

O

Podemos decir que y ek función aisa hai jisme x akela hi variable hai, uske alaawa aur koi variable nhi hai aur y ka graph jab apn plot karenge toh woh kahi nhi tootega (gráfico plot tiempo karte no necesitamos levantar nuestro bolígrafo )

Supongo que entendiste lo que he escrito. Por cierto, está en un lenguaje simple.

Answer 5

En lenguaje sencillo, significa que:

Si lo grafica, no hay huecos :).

Entonces f (x) = x ^ 2 es continuo sobre el dominio de Reals.

Pero f (x) = 1 / x no lo es, porque hay un espacio en x = 0 (la asíntota vertical).