Suponga que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] a ^ {- 1} [/ matemática] tienen órdenes finitas y [matemática] ord (a) = n, \ ord (a ^ {- 1}) = m [/ math] para algunos [math] n, m \ in \ mathbb {N} ^ * [/ math], es decir, [math] a ^ n = (a ^ {- 1}) ^ m = e [/ math], donde [math] e [/ math] es la unidad de grupo.
Entonces:
[matemáticas] (a ^ {- 1}) ^ n = a ^ {- n} = (a ^ n) ^ {- 1} = e ^ {- 1} = e \ \ Longrightarrow \ m \, | \, n [/ matemáticas]
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[matemáticas] a ^ m = a ^ {- (- m)} = (a ^ {- 1}) ^ {- m} = \ left (a ^ {- 1}) ^ m \ right) ^ {- 1 } = e ^ {- 1} = e \ \ Longrightarrow \ n \, | \, m [/ math]
Como [math] m \, | \, n [/ math] y [math] n \, | \, m [/ math], tenemos que [math] n = m [/ math].
Ahora, suponga que [math] ord (a) = \ infty [/ math], es decir [math] a ^ n \ neq e \ \ forall \ n \ in \ mathbb {N} [/ math], pero [math ] ord (a ^ {- 1}) = m [/ math].
Entonces, el mismo argumento, nos da
[matemáticas] a ^ m = a ^ {- (- m)} = (a ^ {- 1}) ^ {- m} = \ left ((a ^ {- 1}) ^ m \ right) ^ {- 1} = e ^ {- 1} = e [/ matemáticas]
lo cual, por supuesto, es una contradicción.
Por último, si [math] ord (a ^ {- 1}) = \ infty [/ math], pero [math] ord (a) = n [/ math], entonces
[matemáticas] (a ^ {- 1}) ^ n = a ^ {- n} = (a ^ n) ^ {- 1} = e ^ {- 1} = e [/ matemáticas]
Y esto también es una contradicción.
Por lo tanto, [matemáticas] ord (a) = ord (a ^ {- 1}) [/ matemáticas].