Cómo demostrar que la expresión (ab-a) / [(b ^ a) -1] es menor que 1 si ambos a, b son mayores que 1

Answer 1

TEOREMA: La desigualdad de Bernoulli.

Para real [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] x \ geq – 1 [/ matemática] y real [matemática] r [/ matemática] tal que [matemática] r \ geq 1 [/ matemática] [matemática] , [/matemáticas]

[matemáticas] (1 + x) ^ r \ geq 1 + rx \ tag * {} [/ matemáticas]

---

[matemáticas] b ^ a = \ big (1+ (b-1) \ big) ^ a \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] b ^ a \ geq 1 + a (b-1) \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ a-1 \ geq a (b-1) \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ a-1 \ geq ab-a \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 \ geq \ dfrac {ab-a} {b ^ a-1} \ tag * {} [/ matemáticas]

Donde la segunda línea se sigue de la desigualdad de Bernoulli.

Dividir en la última línea entre [matemáticas] b ^ a-1 [/ matemáticas] no cambia el signo de la desigualdad porque es positivo, [matemáticas] (b ^ a-1> 1 ^ a-1 = 0) [ /matemáticas].

Espero que esto ayude.

Answer 2

Hagamos esto tomando un ejemplo, a = 2 yb = 3.

Está claro que 2 y 3> 1

(ab- a) / (b ^ a -1)

= 2 * 3 – 1/3 ^ 2 – 1

= 6 -1 / 9 -1

= 5/8

= 0.6 que es menor que uno.

Lo mismo será cierto para cualesquiera otros dos números mayores que uno como dominador siempre será mayor que numerador.

Espero que esto ayude !

Answer 3

Toma a = 1+ ∆

Y b = 1 + €

Donde ∆ y € son positivos

sustitúyalos en lo anterior.

Y use la aproximación binomial como

(1 + x) ^ r ~ 1 + rx

Arive a la cantidad

(1 + ∆) / (1 + ∆ + ∆ €)

Que no es más que

1 – {(∆ €) / (1 + ∆ + ∆ €)}

Que es menos de 1

QED