Si x está tres veces más lejos de -5 que de 15, ¿cuáles son los valores posibles de x?

Answer 1

Otros han dado respuestas para [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], pero ¿qué pasa con [math] x \ in \ mathbb {C} [/ math]?

intentaremos encontrar valores para x = u + iv; u, v real

llamemos a A (-5; 0), B (15; 0) y X (u, v)

obviamente nuestro problema aquí es simplemente encontrar (u, v) tal que AX = 3BX por lo tanto:

[matemáticas] AX ^ 2 = 9BX ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] AX ^ 2-9BX ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ vec {AX} +3 \ vec {BX}). (\ vec {AX} -3 \ vec {BX}) = 0 [/ matemáticas]

ahora digamos que C es el baricentro de (A; 1) y (C; 3), por lo que es el punto de coordenadas (10,0) (ya que (1 * (- 5) + 3 * 15) / (1 + 3 ) = 10)

y D en el baricentro de (A; 1) y (C; -3) convirtiéndolo en el punto de coordenadas (25; 0)

(desde (1 * (- 5) -3 * 15) / (1-3) = 25)

Por supuesto, estas son las 2 soluciones reales para la ecuación.

ahora, nuestra ecuación es solo esta:

[matemáticas] (4 \ vec {CX}). (- 2 \ vec {DX}) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ vec {CX}). (\ vec {DX}) = 0 [/ matemáticas]

entonces esto simplemente significa que X está en el círculo cuyo diámetro es [CD].

si quieres la ecuación es así:

(u-10) (u + 25) + (v-0) (v-0) = 0

u² + 15u-250 + v² = 0

(u + 15/2) ²- (15/2) ²-250 + v² = 0

(u + 15/2) ² + v² = 1225/4 = (35/2) ²

Answer 2

Camino del siglo XVIII. Obviamente x> -5.

Si x está en el segmento [-5,15], divide su longitud 20 en una proporción de 3: 1, es decir, 4 partes, la longitud de una parte es 5, x = 15-5 = 10.

Si x> 15, entonces 15 divide el segmento [-5, x] en una relación 2: 1, la longitud de 2 partes es 20, una parte es 10, x = 15 + 10 = 25.

Answer 3

| x- (-5) | = 3 | x-15 |

x + 5 = 3x-45 …… (1)

O

x + 5 = 45–3x… .. (2)

(1) x + 5 = 3x-45

2x = 50

x = 25

(2) x + 5 = 45–3x

4x = 40

x = 10

Entonces x = 25 o x = 10.

Answer 4

Sea [math] d_1 = | x + 5 | [/ math], la distancia entre un punto [math] x [/ math] y [math] -5 [/ math]. Sea [math] d_2 = | x-15 | [/ math], la distancia entre [math] x [/ math] y [math] 15 [/ math].

Queremos encontrar [math] x [/ math] tal que [math] d_1 = 3d_2 [/ math].

Podemos escribir el valor absoluto de un número real como [matemáticas] | x | = \ sqrt {x ^ 2} [/ math]. Entonces, cuadrando ambos lados de la ecuación anterior (con cada [math] d_i [/ ​​math] reemplazado adecuadamente), obtenemos

[matemáticas] \ begin {align *} \ qquad (x + 5) ^ 2 & = 9 (x-15) ^ 2 \\ x ^ 2 + 10x + 25 & = 9x ^ 2 – 270x + 2025 \\ 0 & = 8x ^ 2 – 280x + 2000 \\ x ^ 2 – 35x + 250 & = 0 \\ (x-10) (x-25) & = 0. \ end {align *} [/ math]

Redujimos el problema de la palabra a un problema matemático simbólico (porque sabemos que el valor absoluto [matemática] | xa | [/ matemática] da la distancia entre [matemática] x [/ matemática] y [matemática] a [/ matemática], y podría ir desde allí), lo manipulamos ligeramente por nuestro conocimiento de una (de varias) definiciones de la función de valor absoluto, y redujimos la ecuación resultante a una ecuación cuadrática, que pudimos factorizar, y así obtener dos raíces.

Esas raíces son [matemáticas] 10 [/ matemáticas] y [matemáticas] 25 [/ matemáticas]. Así que vamos a ver Elija la raíz [matemáticas] x = 10 [/ matemáticas] primero:

[matemáticas] \ qquad d_1 = | 10 + 5 | = 15, \ d_2 = | 10-15 | = | -5 | = 5 [/ matemáticas].

Esto se ve bien, porque [matemáticas] 3d_2 = 15 = d_1 [/ matemáticas]. Ahora [matemáticas] x = 25 [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ qquad d_1 = | 25 + 5 | = 30, \ d_2 = | 25-15 | = 10 [/ matemáticas].

Esto también es bueno, por razones obvias.

¿Podría haber otros puntos que faltan?

Deberías intentar resolverlo por ti mismo, pero te daré una pista: ninguna manipulación de la relación entre las distancias te dará un polinomio en [matemáticas] x [/ matemáticas] con un grado (potencia máxima / exponente) mayor que [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

Dadas las variaciones de este problema (como la variación de la relación de distancias), ¿qué otros posibles resultados podría haber?

Answer 5

Comenzamos con la ecuación | x + 5 | = 3 | x-15 |

Como saben, hay dos posibilidades para | x + 5 |: a saber, más o menos (x + 5).

Del mismo modo para | x-15 |: más o menos (x-15).

Tyhat suena como si hubiera un total de cuatro posibilidades, pero, en realidad, si usamos los signos menos en ambos casos, obtenemos el mismo resultado que si usamos los signos más en ambos casos, etc. hay dos posibilidades: el mismo signo para ambos o signos opuestos para los dos | El | símbolos

Si usamos el mismo signo, obtenemos

x + 5 = 3 * x – 45

-2 * x = -50

x = 25.

Si usamos signos opuestos, obtenemos

x + 5 = -3 * (x-15)

x + 5 = -3 * x + 45

4 * x = 40

x = 10.

Entonces las posibilidades son x = 10 yx = 25

Answer 6

(x + 5) 2 × 2 + 10x + 250 × 2−35x + 250 (x − 10) (x − 25) = 9 (x − 15) 2 = 9 × 2−270x + 2025 = 8 × 2−280x + 2000 = 0 = 0.