Permítanme intentar explicar [math] GCD [/ math] y [math] LCM [/ math].
Deje que los enteros sean [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática].
Con fines ilustrativos, considere que
- [math] A [/ math] tiene solo 2 factores primos:
- [matemática] p_1 [/ matemática] ocurre [matemática] n_1 [/ matemática] veces y
- [matemática] p_2 [/ matemática] ocurre n_2 veces
- [matemáticas] B [/ matemáticas] tiene 2 factores primos
- [matemática] p_1 [/ matemática] ocurre [matemática] n_3 [/ matemática] veces [matemática] (n_3 <n_1) [/ matemática] y
- [matemática] p_3 [/ matemática] ocurriendo [matemática] n_4 [/ matemática] veces
[matemáticas] => A = p_1 ^ {n_1} * p_2 ^ {n_2} – (1) [/ matemáticas]
- Si x está tres veces más lejos de -5 que de 15, ¿cuáles son los valores posibles de x?
- Cómo construir la gráfica de x ^ 2 + y ^ 2 = 9
- ¿Cuál es la integral del pecado (x)?
- Cómo encontrar el valor de [math] f ‘(3) [/ math] si la función se define como [math] f (x) = \ ln \ left (\ sqrt {x} + \ frac {1} {\ sqrt {x}} \ right) [/ math]
- F (x) es a / xyg (x) es ax + k, la línea y = g (x) es una tangente a la curva y = | f (x) | en el punto p y corta la curva y = | f (x) | en el punto q muestra k = 2a?
y [matemáticas] B = p_1 ^ {n_3} * p_3 ^ {n_4} – (2) [/ matemáticas]
De lo anterior, es obvio que:
- [math] MCD [/ math] = Máximo común divisor = Para el [math] MCD [/ math], todos los factores primos comunes => menor potencia de todos los factores primos comunes.
- [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] tiene solo un factor primo común [matemática] p_1 [/ matemática] y la menor potencia de [matemática] p_1 = n_3, [/ matemática] como [matemática ] (n_3 <n_1) [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] MCD = p_1 ^ {n_3} [/ matemáticas]
- [math] LCM [/ math] = Mínimo común múltiplo: para identificar el múltiplo, necesitamos la potencia más alta de cada factor primo.
- Para [math] LCM [/ math], todos los factores de [math] A [/ math] y [math] B [/ math] deben estar representados para que esto sea un múltiplo.
- [matemática] p_1 [/ matemática]: [matemática] A [/ matemática] tiene [matemática] n_1 [/ matemática] poderes de [matemática] p_1 [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] tiene [matemática] n_3 [/ math], con [math] n_3 LCM debe contener [math] n_1 [/ math] veces de [math] p_1 => LCM_1 = p_1 ^ {n_1} [/ math]
- [matemática] p_2 [/ matemática]: aparece [matemática] n_2 [/ matemática] veces solo en [matemática] A [/ matemática]. [matemáticas] LCM_2 = p_2 ^ {n_2} [/ matemáticas]
- [matemática] p_3 [/ matemática]: aparece [matemática] n_4 [/ matemática] tiempo solo en [matemática] B [/ matemática]. [matemáticas] LCM_3 = p_3 ^ {n_4} [/ matemáticas]
- [matemáticas] LCM = LCM_1 * LCM_2 * LCM_3 = p_1 ^ {n_1} * p_2 ^ {n_2} * p_3 ^ {n_4} – (3) [/ matemáticas]
- Calcule [matemática] MCD * LCM = p_1 ^ {n_3} * p_1 ^ {n_1} * p_2 ^ {n_2} * p_3 ^ {n_4} = [/ matemática]
- [matemáticas] => MCD * LCM = p_1 ^ {n_1 + n_3} * p_2 ^ {n_2} * p_3 ^ {n_4} – (4) [/ matemáticas]
- Calcule [matemáticas] A * B [/ matemáticas] usando [matemáticas] (1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2) [/ matemáticas]
- [matemáticas] A * B = p_1 ^ {n_1} * p_2 ^ {n_2} * p_1 ^ {n_3} * p_3 ^ {n_4} [/ matemáticas]
- [matemáticas] = p_1 ^ {n_1 + n_3} * p_2 ^ {n_2} * p_3 ^ {n_4} – (5) [/ matemáticas]
¿Son [matemáticas] (4) [/ matemáticas] y [matemáticas] (5) [/ matemáticas] iguales?
¿Es una coincidencia? No. Esta es la lógica detrás de la ecuación [matemáticas] A * B = MCD (A, B) * LCM (A, B) [/ matemáticas]
La siguiente pregunta es: ¿Qué pasa si no hay factores comunes? Simple: aplique [math] n_3 = 0 [/ math] en el ejemplo anterior. Eso debería responder a su pregunta en el comentario.
Espero que esto responda.