Si (y = a ^ x) ¿por qué y ‘= a ^ x – lnx no solo a ^ x?

Answer 1

Creo que realmente quieres entender exactamente por qué la derivada no es solo un ^ x.

Cuando enseño esto me gusta seguir los siguientes pasos.

Lea esto y lo entenderá correctamente.

Entonces e ^ x es la ÚNICA función que es su propia derivada.

Si elegimos cualquier otra base como y = a ^ x , siempre obtenemos que la derivada es a ^ x multiplicada por alguna constante.

En la explicación anterior, acabo de encontrar los valores decimales de estas constantes usando límites simples.

Deberá estudiar los registros y la diferenciación implícita antes de poder demostrar que la constante cuando diferencia y = a ^ x es ln (a)

VEA TAMBIÉN: http://screencast.com/t/QdQwHssGqa

Y: http://screencast.com/t/6rJEqdOsqp

Answer 2

Investiguemos desde cero, es decir, suponiendo que no sepamos nada sobre la derivada de [math] a ^ x [/ math] y lo que [math] ln (a) [/ math] realmente significa.

Por definición de una derivada:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} a ^ x = \ lim \ limits_ {h \ to 0} {\ left (\ dfrac {a ^ {x + h} -a ^ h} {h} \ right) }[/matemáticas]

[matemáticas] = a ^ x \ veces \ lim \ límites_ {h \ a 0} {\ left (\ dfrac {a ^ h-1} {h} \ right)} \ quad [/ math] —- (1)

¡Ahora solo tenemos que descubrir cuál es ese límite!

Es fácil ver que las funciones:

[math] \ mathbf {a ^ h} [/ math] y [math] \ mathbf {\ log _ {(1 + h)} {\ left [a ^ {h ^ 2} (1 + h) \ right]} } [/ math] ambos se acercan [math] 1 [/ math] como [math] h [/ math] se acerca [math] 0 [/ math]

Entonces podemos decir que para [matemáticas] h [/ matemáticas] muy cerca de [matemáticas] 0 [/ matemáticas]:

[matemáticas] a ^ h = \ log _ {(1 + h)} {\ left [a ^ {h ^ 2} (1 + h) \ right]} [/ math]

[matemáticas] = 1 + h ^ 2 \ log _ {(1 + h)} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + \ dfrac {h ^ 2} {\ log_a {(1 + h)}} [/ matemáticas]

[math] = 1 + \ dfrac {h} {\ frac 1h \ times \ log_a {(1 + h)}} [/ math]

[matemáticas] = 1 + \ dfrac {h} {\ log_ {a} {(1 + h) ^ {\ frac 1h}}} [/ matemáticas]

Ahora se sabe que: [matemática] e = \ lim \ limits_ {h \ a 0} {\ left (1 + h \ right) ^ {\ frac 1h}} [/ math]

Entonces, para [matemáticas] h [/ matemáticas] cerca de [matemáticas] 0 [/ matemáticas]:

[matemáticas] a ^ h = 1 + \ dfrac {h} {\ log_a {e}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ \ lim \ limits_ {h \ a 0} {\ left (\ dfrac {a ^ h-1} {h} \ right)} = \ lim \ limits_ {h \ to 0} {\ left (\ dfrac {1+ \ frac {h} {\ log_a {e}} – 1} {h} \ right)} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ log_a {e}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ log_e {a} [/ matemáticas]

Poniendo en [matemáticas] (1) [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} a ^ x = a ^ x. \ log_e {a} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la derivada de una función exponencial puede ser igual a sí misma solo cuando su base [matemáticas] a [/ matemáticas] es igual al número mágico [matemáticas] e. [/ Matemáticas]

¡Y esto no se debe a la convención, sino a un resultado matemático “natural” como ya viste en la prueba!

Answer 3

Básicamente porque la base NO ES e.

sea ​​y = a ^ x, a ≠ e,

㏑y = ㏑a ^ x = x (㏑a)

dif. wrt x,

y ‘(1 / y) = ㏑a

dy / dx = y㏑a = (㏑a) (a ^ x)

Si a = e → dy / dx = ㏑e (e ^ x) = e ^ x

Answer 4

[matemáticas] \ text {Prueba simple, bastante sencilla …} \\\ text {Let} y = a ^ x \\ \ implica \ ln y = x \ ln a \\ \ implica \ dfrac {y ‘} {y} = \ ln a, \ text {tomando derivada wrt} x \\ \ implica y ‘= y \ ln a \\ \ implica y’ = a ^ x \ ln a \ tag * {} [/ math]

Entonces, algo está mal con tu lógica 🙂

Answer 5

y ‘ciertamente no es igual a ^ x – lnx.

Deje y = a ^ x. Entonces xln (a) = ln (y).
Tomando derivados con respecto a x,

ln (a) = d / dx ln (y) = y ‘/ y

Entonces y ‘= yln (a).

Entonces, si f (x) = a ^ x, entonces f ‘(x) = ln (a) a ^ x.

También podría probar esto con los primeros principios, cuyo último paso requiere la prueba de otro límite conocido.

Saludos cordiales,
Zane Heyl.

Answer 6

Esto es falso

y ‘= ln (a) * a ^ x debido a y = e ^ (x * ln (a)) y la regla de la cadena