La función de punto vectorial dada es …
[matemáticas] \ vec {F} = i2xz + jy-kz ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = F_1i + F_2j + F_3k [/ matemáticas]
Donde [matemáticas] F_1 = 2xz, F_2 = y, F_3 = -z ^ 2 [/ matemáticas]
- ¿Puedes probar [math] f: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N} [/ math], con [math] (m, n) \ mapsto \ frac {(m + n ) ^ 2 + 3m + n} {2} [/ math] es inyectivo?
- ¿Por qué los pesos en una caja de pesas se mantienen en una proporción de 5: 2: 2: 1?
- ¿Cuál es la diferencia entre la pendiente de una línea de regresión en un diagrama de dispersión y el valor promedio de Y de cada punto dividido por su X?
- ¿Cuál es la pendiente de la línea que pasa por los puntos (2, 8) y (6, 12)?
- ¿Cuál es la solución de esta ecuación, [matemáticas] x ^ 3-5x ^ 2-58x + 58 = 0 [/ matemáticas]?
Lo sabemos…
[matemáticas] div \ vec {F} = \ dfrac {\ partial F_1} {\ partial x} + \ dfrac {\ partial F_2} {\ partial y} + \ dfrac {\ partial F_3} {\ partial z} [/ matemáticas]
[matemáticas] div \ vec {F} = \ dfrac {\ partial} {\ partial x} (2xz) + \ dfrac {\ partial} {\ partial y} (y) + \ dfrac {\ partial} {\ partial z } (- z ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2z + 1–2z = 1 [/ matemáticas]
Ahora [math] \ int_Rdiv \ vec {F} dv = \ int_0 ^ c \ int_0 ^ b \ int_0 ^ a (1) dxdydz [/ math]
[math] = (\ int_0 ^ cdz) (\ int_0 ^ bdy) (\ int_0 ^ adx) [/ math]
[matemáticas] = abc… (1) [/ matemáticas]
De nuevo …
[matemáticas] \ int_S \ vec {F} \ cdot Nds = \ int_ {S_1} \ vec {F} \ cdot Nds + \ int_ {S_2} \ vec {F} \ cdot Nds +… + \ int_ {S_6} \ vec { F} \ cdot Nds [/ math]
Donde [matemática] S_1 [/ matemática] en la cara OAC’B, [matemática] S_2 [/ matemática] la cara CB’PA ‘, [matemática] S_3 [/ matemática] la cara OBA’C, [matemática] S_4 [ / matemática] la cara AC’PB ‘, [matemática] S_5 [/ matemática] la cara OCB’A, [matemática] S_6 [/ matemática] la cara OAC’B.
Ahora…
[matemáticas] \ int_ {S_1} \ vec {F} \ cdot Nds = \ int_ {S_1} \ vec {F} (- k) ds [/ matemáticas]
[matemáticas] = – \ int_0 ^ a \ int_0 ^ b (0 ^ 2) dxdy [/ matemáticas]
[matemáticas] = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ int_ {S_2} \ vec {F} \ cdot Nds = \ int_ {S_2} \ vec {F} \ cdot kds [/ math]
[matemáticas] = \ int_0 ^ a \ int_0 ^ b (-c ^ 2) dxdy [/ matemáticas]
[matemáticas] = – c ^ 2 (\ int_0 ^ adx) (\ int_0 ^ bdy) [/ matemáticas]
[matemáticas] = – abc ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ int_ {S_3} \ vec {F} \ cdot Nds = \ int_ {S_3} \ vec {F} \ cdot (-i)) ds [/ math]
[matemáticas] = – \ int_0 ^ b \ int_0 ^ c (0) dydz [/ matemáticas]
[matemáticas] = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ int_ {S_4} \ vec {F} \ cdot Nds = \ int_ {S_4} \ vec {F} \ cdot (i) ds [/ math]
[matemáticas] = \ int_0 ^ b \ int_0 ^ c2azdydz [/ matemáticas]
[matemáticas] = abc ^ 2 [/ matemáticas]
Similar…
[matemáticas] \ int_ {S_5} \ vec {F} \ cdot Nds = \ int_ {S_4} \ vec {F} \ cdot (-j) ds [/ math]
[matemáticas] = – \ int_0 ^ a \ int_0 ^ c (0) dxdz [/ matemáticas]
[matemáticas] = 0 [/ matemáticas]
y [matemáticas] \ int_ {S_6} \ vec {F} \ cdot (j) dxdz [/ matemáticas]
[matemáticas] = abc [/ matemáticas]
Entonces [math] \ int_ {S} \ vec {F} \ cdot Nds = 0-abc ^ 2 + 0 + abc ^ 2 + 0 + abc = abc… (2) [/ math]
Así de (1) y (2) obtenemos …
[matemáticas] \ int_ {R} div \ vec {F} dv = \ int_ {S} \ vec {F} \ cdot Nds [/ matemáticas]
Por lo tanto, se verifica el teorema de divergencia.
El problema ya está hecho.