¿Para qué constante ‘a’ es x ^ a siempre más grande que log x?

Answer 1

Supongo que [math] \ log (x) [/ math] significa el logaritmo natural, de lo contrario, los cálculos deben ajustarse un poco.

Entonces, básicamente, desea [math] a \ log (x)> \ log \ log (x) [/ math]. Otra forma de decirlo es que [matemáticas] a [/ matemáticas] debe exceder el máximo de

[matemáticas] h (x) = \ frac {\ log \ log (x)} {\ log (x)} [/ matemáticas]

para [matemáticas] x> 1 [/ matemáticas]. Considere [math] t = \ log x [/ math] y busque el máximo de [math] g (t) = \ frac {\ log (t)} t [/ math] para positivo [math] t [/ math ]

Al diferenciar [matemática] g (t) / matemática] obtienes

[matemáticas] g ‘(t) = \ frac {1 – \ log (t)} {t ^ 2} [/ matemáticas]

entonces esta función aumenta para [math] t <e [/ math] y luego disminuye.

Por lo tanto, el máximo se produce en [matemáticas] t = e [/ matemáticas], y es igual a [matemáticas] \ frac 1e. [/ Matemáticas]

Cualquier [matemática] a> \ frac 1e [/ matemática] satisfará la propiedad deseada.

Answer 2

Esta es una muy buena pregunta, y la respuesta es 1 / e = 0.3678 …

Otra forma de expresar el problema es para qué a tiene [math] x ^ a == \ log (x) [/ math] soluciones reales.

Desde Wolfram Alpha, la solución parece ser:

[matemáticas] x = (- \ frac {W (-a)} {a}) ^ {1 / a} [/ matemáticas]

donde W es la función Lambert-W y su compleja generalización.

Por lo tanto, restringirnos a números reales requiere observar el dominio de la función Lambert-W, que se valora de manera real solo cuando a> 1 / e.

Función Lambert W – Wikipedia

Answer 3

[matemáticas] x ^ a> logx [/ matemáticas]

[matemáticas] logx ^ a> log (logx) [/ matemáticas]

[matemáticas] alogx> log (logx) [/ matemáticas]

[matemáticas] a> \ frac {log (logx)} {logx} [/ math]

Entonces, la constante [matemática] a [/ matemática] depende del valor de x.