¿Cuál es la suma de las raíces de z ^ {12} = 64 que tienen una parte real positiva?

Answer 1

La pregunta es inherentemente geométrica y se relaciona con las raíces de la unidad. Enfoquémonos en la ecuación más simple [matemáticas] z ^ {12} = 1 [/ matemáticas]. Aquí hay un diagrama útil.

(Imagen de las raíces matemáticas de la unidad [matemáticas] 12 [/ matemáticas]. Fuente: Nth Roots Of Unity – Material de estudio para IIT JEE)

Vemos que todas estas raíces se encuentran en los vértices de un dodecágono regular a lo largo del círculo unitario. Dado que el círculo contiene [matemáticas] 360 [/ matemáticas] grados, cada una de estas cuñas es [matemáticas] 360/12 = 30 [/ matemáticas] grados.

Solo nos preocupamos por las raíces positivas, por lo que solo tenemos que considerar el medio plano correcto. Así que solo hay cinco de ellos: el de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] grados, el par de [matemáticas] \ pm 30 [/ matemáticas] grados y el par de [matemáticas] \ pm 60 [/ matemáticas] grados

Estas raíces son pares conjugados, por lo que si los sumamos en sus pares, estamos sumando efectivamente [math] (x + iy) + (x – iy) [/ math], que es igual a [math] 2x. [/ Math] (También puede ver esto visualmente al sumarlos usando la ley de paralelogramo). Por lo tanto, todo lo que nos importa es su parte real, que podemos obtener al considerar los cosenos. Entonces podemos duplicar todos los que tenían un par conjugado complejo.

El coseno en [matemáticas] 0 [/ matemáticas] grados es [matemáticas] 1 [/ matemáticas], el coseno en [matemáticas] 30 [/ matemáticas] grados es [matemáticas] \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas] , y el coseno en [matemáticas] 60 [/ matemáticas] grados es [matemáticas] \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]. Al juntar las piezas, obtenemos una suma de [matemáticas] s = 1 + 2 \ izquierda (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ derecha) [/ matemáticas]. Simplificando, [matemáticas] s = 2 + \ sqrt {3} [/ matemáticas].

Finalmente, tenemos que reescalar todo el problema hasta [matemática] z ^ {12} = 64 [/ matemática] en lugar de [matemática] z ^ {12} = 1 [/ matemática]. Esto solo significa volar el círculo unitario al círculo cuyo radio es [matemático] 64 ^ {1/12} = \ sqrt {2} [/ matemático]. Entonces, si escalamos nuestra suma por [math] \ sqrt {2} [/ math], deberíamos llegar a la respuesta correcta: [math] 2 \ sqrt {2} + \ sqrt {6} [/ math]. [matemáticas] \ spadesuit [/ matemáticas]

Answer 2

Como siempre [math] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ math] para entero [math] k. [/ Math]

[matemáticas] z ^ {12} = 2 ^ 6 e ^ {2 \ pi ki} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = (2 ^ 6 e ^ {2 \ pi ki}) ^ {1/12} = \ sqrt {2} e ^ {ik \ pi / 6} = \ sqrt {2} (\ cos (k \ pi / 6) + i \ sin (k \ pi / 6)) [/ math]

Obtenemos una parte real positiva cuando el ángulo es mayor que [matemática] – \ pi / 2 [/ matemática] y menor que [matemática] \ pi / 2 [/ matemática].

[matemáticas] – \ pi / 2

[matemáticas] -3

Nosotros buscamos

[matemáticas] \ displaystyle s = \ sum_ {k = -2} ^ {2} \ sqrt {2} e ^ {ik \ pi / 6} [/ matemáticas]

Eso es solo una serie geométrica finita, resumida directamente.

[matemáticas] s = \ sqrt {2} e ^ {i (-2 \ pi / 6)} \ dfrac {1 – e ^ {i (5 \ pi / 6)}} {1 – e ^ {i \ pi / 6}} [/ matemáticas]

[matemáticas] s = \ sqrt {2} (\ cos \ pi / 3 – i \ sin \ pi / 3) \ dfrac {1 – \ cos (5 \ pi / 6) – i \ sin (5 \ pi / 6 )} {1 – \ cos \ pi / 6 – i \ sin \ pi / 6} [/ math]

Eso parece desordenado para evaluar; veamos si podemos Einstein.

[matemáticas] z = e ^ {i (-2 \ pi / 6)} + e ^ {i (-1 \ pi / 6)} + e ^ {i (0 \ pi / 6)} + e ^ {i (1 \ pi / 6)} + e ^ {i (2 \ pi / 6)} [/ math]

[matemáticas] \ textrm {Re} (z) = \ cos (-60) + \ cos (-30) + \ cos 0 + \ cos 30 + \ cos 60 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ textrm {Re} (z) = 2 (\ cos 30 + \ cos 60) +1 = \ sqrt {3} + 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ textrm {Im} (z) = \ sin (-60) + \ sin (-30) + \ sin 0 + \ sin 30 + \ sin 60 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ textrm {Im} (z) = 0 [/ matemáticas]

Tenemos que recordar nuestro factor de [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas]: [matemáticas] s = \ sqrt {2} z [/ matemáticas]

[matemáticas] s = \ sqrt {2} (2 + \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

Answer 3

suma de las seis raíces en 1ra y 4ta Q

= √2 (1 + 2cos45 + 2cos22.5 + 2cos37.5)