¿Qué función satisface [matemáticas] f (1) = x, f (2) = x ^ x, f (3) = x ^ {x ^ x} [/ matemáticas]?

Answer 1

A2A

No estoy seguro de entender su pregunta correctamente, pero diría que está buscando una secuencia, definida de la siguiente manera

[matemáticas] u (1) = x [/ matemáticas]

[math] \ forall n \ in \ mathbb N, u (n + 1) = x ^ {u (n)} [/ math]

Pero, en cierto modo, una secuencia es un tipo específico de función. Entonces podríamos definir su función de forma recursiva, para una [math] x \ in \ mathbb R ^ + [/ math] dada

[matemáticas] f: \ mathbb N ^ * \ rightarrow \ mathbb R ^ +, \ begin {cases} f (1) = x \\ f (n + 1) = x ^ {f (n)} \ end {cases }[/matemáticas]

Y a partir de ahí, incluso podría definir una función de doble entrada,

[matemáticas] g: \ mathbb N ^ * \ times \ mathbb R ^ {+} \ rightarrow R ^ +, \ begin {cases} f (1, x) = x \\ f (n + 1, x) = x ^ {f (n, x)} \ end {cases} [/ math]

Notarás que me he limitado a [math] \ mathbb R ^ + [/ math] tanto para [math] x [/ math] como para el resultado. Extender uno u otro a [math] \ mathbb R [/ math] se complica, ya que la exponenciación se vuelve multivalor y, por lo tanto, no es una función. Si desea una función, estrictamente definida, no puede ir más allá de eso. Si desea una asociación de valores múltiples, puede extender uno o ambos dominios y el rango a [math] \ mathbb R [/ math] o incluso [math] \ mathbb C [/ math], pero la evaluación se convertirá complicado muy, muy rápido.

Answer 2

No hay una función única que satisfaga el requisito dado. A menudo veo gente preguntando por la función dado algunos de sus valores. No hay forma de saber cuál es la función completa dada algunos de sus valores, la función puede comportarse de todos modos fuera de los valores dados. Por ejemplo, considere una función [matemática] f [/ matemática] tal que [matemática] f (1) = 1 [/ matemática], [matemática] f (2) = 2 [/ matemática], [matemática] f (3 ) = 9 [/ matemáticas]. Dada esta información, ¿es posible encontrar [math] f (x) [/ math] para cada [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math]? Ciertamente no, hay infinitas [matemáticas] f [/ matemáticas] que satisfacen el requisito dado. Para enumerar algunos, considere las siguientes funciones.

[matemática] f (x) = \ begin {cases} x ^ 2 \ quad \ text {if} x = 1,2,3 \\ 0 \ quad \ text {si no} \ end {cases} [/ math]

[matemáticas] f (x) = \ begin {cases} x ^ 2 \ quad \ text {if} 1 \ le x \ le 4 \\ x \ quad \ text {de lo contrario} \ end {cases} [/ math]

[matemáticas] f (x) = \ begin {cases} x ^ 2 \ quad \ text {if} -5 \ le x \ le 5 \\ \ log (| x |) \ quad \ text {de lo contrario} \ end { casos} [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = \ begin {cases} x ^ 2 \ quad \ text {if} x = 1,2,3 \\ \ mathrm {e} ^ {\ sin x} \ quad \ text {si no} \ end {cases} [/ math]

Ahora, para responder a su pregunta, hay al menos dos problemas que siento. Primero, no ha especificado el dominio de [math] f [/ math]. ¿Es eso [math] \ mathbb {R} [/ math], o [math] X \ subseteq \ mathbb {R} [/ math], o [math] X \ subseteq \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] , o [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]? No sabemos si [math] f [/ math] es una función de una sola variable o de múltiples variables. En segundo lugar, como se dijo anteriormente, no existe una función única que satisfaga sus requisitos. Eche un vistazo a las siguientes funciones [matemáticas] f [/ matemáticas] que satisfacen sus requisitos.

Deje que [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math] sea una constante.

[matemáticas] f (t) = \ begin {cases} f (1) = x \\ f (2) = x ^ x \\ f (3) = x ^ {x ^ x} \\ 0 \ quad \ text {if} t \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {1,2,3 \} \ end {cases} [/ math]

[matemáticas] f (t) = \ begin {cases} f (1) = x \\ f (2) = x ^ x \\ f (3) = x ^ {x ^ x} \\\ mathrm {e} ^ t \ quad \ text {if} t \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {1,2,3 \} \ end {cases} [/ math]

[matemáticas] f (t) = \ begin {cases} f (1) = x \\ f (2) = x ^ x \\ f (3) = x ^ {x ^ x} \\\ log | t | \ quad \ text {if} t \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {1,2,3 \} \ end {cases} [/ math]

[matemáticas] f (t) = \ begin {cases} f (1) = x \\ f (2) = x ^ x \\ f (3) = x ^ {x ^ x} \\\ sin t \ quad \ text {if} t \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {1,2,3 \} \ end {cases} [/ math]

Answer 3

[matemáticas] f (a) = x \ uparrow \ uparrow a [/ math]

[matemáticas] f (1) = x \ uparrow \ uparrow 1 = x [/ matemáticas]

[matemáticas] f (2) = x \ uparrow \ uparrow 2 = x ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] f (3) = x \ uparrow \ uparrow 3 = x ^ {x ^ x} [/ matemáticas]

Answer 4

Puede expresar esto usando la notación de flecha hacia arriba de Knuth:

[matemáticas] f (x, y) = x \ uparrow \ uparrow y [/ math]

Tenga en cuenta que la función [math] f [/ math] tiene que tener múltiples argumentos para que su pregunta tenga sentido.

Esto produciría las evaluaciones que deseaba:

[matemáticas] f (x, 1) = x, f (x, 2) = x ^ x, \ puntos [/ matemáticas] y así sucesivamente.

Answer 5

Puede definir esta función de forma recursiva:

[matemáticas] f (n) = x ^ {f (n-1)} [/ matemáticas], donde [matemáticas] f (1) = x [/ matemáticas].

Dudo en llamarlo tetración, porque estás pasando un número entero y estás devolviendo una expresión variable, donde x no está definido. Otros respondedores están reescribiendo su pregunta en una forma de dos argumentos, pero eso no fue lo que se les preguntó.

Answer 6

En realidad, tal como lo describiste, hay infinitos polinomios que lo satisfacen.

[matemáticas] f (1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (2) = 2 ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (3) = 3 ^ {3 ^ 3} = 3 ^ {27} [/ matemáticas]

Es una aplicación muy trivial del polinomio de Lagrange, que interpola [matemática] n + 1 [/ matemática] puntos con un polinomio de [matemática] nth [/ matemática] grado.

En este caso lo es

[matemática] L (x) = 3812798742490x ^ 2 -11438396227467x + 7625597484978 [/ matemática]

Editar:

Mirando hacia atrás a esta respuesta insatisfecho de que no di una respuesta más general, noté que no dijiste explícitamente que el primer argumento de [math] f [/ math] fue [math] x [/ math]. Lo que significa que podemos suponer que no lo es y ponerle curry:

[matemáticas] f (1) (x) = x [/ matemáticas]

[matemáticas] f (n) (x) = f (n – 1) (x) [/ matemáticas]

Y obtienes la llamada tetración de la que hablan todos los chicos geniales

Answer 7

Esto puede ser un poco confuso porque la función que está buscando para responder a la pregunta es una función que asigna algún tipo de escalar (como 1,2 o 3) a una función en sí misma (que probablemente sería una función de los reales a los reales como x ^ x).

Una función que está buscando que satisface los requisitos podría describirse como un mapeo de la entrada a una función x entrada exponencial muchas veces.