Si todo A no es B, ¿diríamos que todo B no es A? ¿Por qué?

Answer 1

¡Interesante pregunta! Por un lado, lógicamente, la respuesta depende de cómo se representan y entienden formalmente (sintácticamente y semánticamente) las dos expresiones. En la oración y la lógica de primer orden (FOL), por ejemplo, las dos expresiones serían:

En estas interpretaciones formales, las dos expresiones son materialmente equivalentes, es decir, cada una de ellas es sintácticamente derivable y semánticamente implicada por la otra. Las únicas reglas de inferencia necesarias para una prueba son contraposición, doble negación (DN) e instanciación y generalización universal (UI y UG, solo FOL), de la siguiente manera:

Esta prueba solo demuestra la mitad de la equivalencia material de las dos expresiones. La otra mitad se obtiene aplicando las mismas reglas en el mismo orden, pero comienza con B> ~ A y (x) (Bx> ~ Ax) y termina con (B> ~ A)> (A> ~ B) y ( x) (Bx> ~ Ax)> (x) (Ax> ~ Bx).

Por otro lado, sin embargo, este análisis lógico matemático estándar no resuelve completamente la pregunta. Esta prueba de equivalencia material plantea la cuestión de si “Todo A no es B” y “Todo B no es A” en realidad significa “Si A, entonces no B” o “Para todo x, si Ax no es Bx”, y “Si B entonces no A” o “Para todo x, si Bx entonces no Ax”. Considere, por ejemplo, si las expresiones originales tienen estos significados o no:

• Cada A no es B
• No A es B
• No todas las A son B
• Algunos A son / no son B
• Cada B no es A
• No B es A
• No todas las B son A
• Algunos B son / no son A

Ahora, sustituya “humano” por “A” y “masculino” por “B” de la siguiente manera:

• Todo humano no es hombre
• Ningún humano es hombre
• No todos los humanos son hombres.
• Algunos humanos no son hombres
• Todo hombre no es humano
• Ningún hombre es humano
• No todos los hombres son humanos.
• Algunos hombres no son humanos

Haga ejercicio para el que hace la pregunta y para otros lectores: ¿tienen estas cuatro afirmaciones el mismo valor de verdad (es decir, son todas verdaderas o todas falsas al mismo tiempo), o son ciertas y otras falsas (al mismo tiempo)? ? ¿Hay más interpretaciones de las expresiones originales que tengan sentido en el significado y uso ordinario además de las enumeradas aquí?

Lectura adicional pertinente a esta pregunta:

La respuesta de Terry Rankin a ¿Cuáles son las diferencias entre ser equivalente e implicar?

La respuesta de Terry Rankin a ¿Cuál es la diferencia entre implicación material y lógica?

Paradojas de implicación material – Wikipedia

Answer 2

No.

Primero formulamos esto en términos de conjuntos. Deje [math] S_A = \ {\ text {Todos los objetos que poseen / satisfacen A} \} [/ math] y [math] S_B = \ {\ text {Todos los objetos que poseen / satisfacen B} \} [/ math] Ser dos conjuntos. Entonces, “Todo [matemática] A [/ matemática] no es [matemática] B [/ matemática]” se traduce como [matemática] S_A \ nsubseteq S_B [/ matemática]. Sin embargo, esto no contradice [math] S_B \ subseteq S_A [/ math], que es la formulación establecida de “All [math] B [/ math] no es [math] A [/ math]”.

Más concretamente, un ejemplo es que no todas las cosas rojas son manzanas, pero todas las manzanas son realmente rojas (Ok, en realidad no lo son, pero supongamos aquí que estamos hablando de las mejores y más frescas selecciones).

¡Espero que esto te ayude!

Answer 3

Digamos que A representa una canasta con una manzana y B representa una canasta con dos manzanas. Claramente, A no es lo mismo que B. Pero algo de B es A (la canasta y una de las manzanas forman A). Pero TODO B (la canasta y las dos manzanas juntas) no es A.

Answer 4

Si. Una declaración es la contrapositiva de la otra, y la contrapositiva de una declaración es equivalente.