¿Existe una fórmula para cos pi / 2 ^ n?

Answer 1

La expresión de [math] \ displaystyle \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2 ^ n} \ right) [/ math] en términos de radicales se puede obtener con un CAS como Mathematica escribiendo el código:

Tabla [{n, Cos [Pi / 2 ^ n] // ToRadicals}, {n, 1, k}]

donde [math] k [/ math] es el último o mayor valor de [math] n [/ math] que se desea calcular.

Estas son las primeras expresiones para los primeros valores enteros de [math] n [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2 ^ 2} \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2 ^ 3} \ right) = \ frac {\ sqrt {2+ \ sqrt {2}}} {2} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ displaystyle \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2 ^ 4} \ right) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2+ \ sqrt {2+ \ sqrt {2} }}[/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ displaystyle \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2 ^ 5} \ right) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2+ \ sqrt {2+ \ sqrt {2+ \ sqrt {2}}}} [/ matemáticas]

Como se menciona en la respuesta instructiva de Terry Moore y en los comentarios, aparece un patrón de radicales anidados, y se puede notar que para [math] n \ geq 2 [/ math] y para un valor específico de [math] n [ / math], el resultado se expresa como [math] \ frac {1} {2} [/ math] multiplicado por la forma de radicales anidados que se muestran arriba repetidos [math] n-1 [/ math] veces.

Se obtiene otra solución de forma cerrada si se consideran los polinomios de Chebyshev del primer tipo que satisfacen la siguiente relación:

[matemáticas] {\ displaystyle T_ {n} (\ cos \ theta) = \ cos n \ theta} [/ matemáticas]

La fórmula del problema en esta pregunta está dada por (verificado con Mathematica):

[matemáticas] \ boxed {\ displaystyle \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2 ^ n} \ right) = T_ {2 ^ {- n}} (- 1)} [/ math]

Otra fórmula que involucra una representación en serie y una suma infinita es la siguiente (obtenida con la ayuda de Wolfram Alpha y verificada con Mathematica):

[matemáticas] \ displaystyle \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2 ^ n} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ k \ left ( \ pi ^ {2 k} \ left (2 ^ {- n} \ right) ^ {2 k} \ right)} {(2 k)!} [/ math]

También se debe tener en cuenta que se cumple el siguiente resultado límite (puede verificarse con Mathematica o con cualquier CAS similar):

[matemática] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \, \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2 ^ n} \ right) = 1 [/ math]

Answer 2

Sí, use la fórmula de medio ángulo [matemática] \ cos (2x) = 2 \ cos ^ 2 (x) – 1 [/ matemática]. Debe invertir esto y usarlo repetidamente, por lo que [math] \ cos \ pi / 2 = 0 [/ math], [math] \ cos (\ pi / 4) = \ sqrt {\ frac {1 + \ cos ( \ pi / 2)} {2}} = \ sqrt {0.5} [/ math] y así sucesivamente. Obtienes un montón completo de raíces cuadradas repetidas.

Probemos un par más.

[matemáticas] \ displaystyle \ cos (\ pi / 4) = \ sqrt {2} / 2 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ displaystyle \ cos (\ pi / 8) = \ sqrt {\ frac {1 + \ sqrt {2} / 2)} {2}} [/ matemáticas],

[matemáticas] \ displaystyle \ cos (\ pi / 16) = \ sqrt {\ frac {1 + \ sqrt {\ frac {1 + \ sqrt {2} / 2} {2}}} {2}} [/ matemáticas ],

etc.

Arquímedes calculó [math] \ pi [/ math] basándose exactamente en esta idea.

Answer 3

Si bien he olvidado mucho Trig, me parece que los valores oscilarían entre 1 y 1 negativo, pasando por 0, todos alternando a medida que el ángulo incluido varía de 0 a 2pi