Cómo encontrar las tres raíces de la ecuación [matemáticas] z ^ 3 = -1 [/ matemáticas] (la obvia es -1)

Answer 1

Como dijiste, la raíz obvia es [matemáticas] -1 [/ matemáticas]

Podemos hacerlo usando álgebra, o análisis complejo.

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Usando álgebra:

[matemáticas] z ^ 3 = -1 \\ \ implica z ^ 3 + 1 = 0 \\ \ implica (z + 1) (z ^ 2-z + 1) = 0 \\ \ implica z = -1, \ dfrac {1} {2} \ pm \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} i [/ math]

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Usando análisis complejos:

Recordemos la identidad de Euler …

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 3 = -1 \\ \ implica z ^ 3 = e ^ {i \ pi} \\ \ implica z = e ^ {\ frac {i \ pi} {3}} \ tag * {} [ /matemáticas]

Usando [math] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ math], tenemos

[matemáticas] z = \ cos \ dfrac {\ pi} {3} + i \ sin \ dfrac {\ pi} {3} = \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {\ sqrt {3}} {2 } i \ tag * {} [/ math]

Sabemos que las raíces complejas ocurren en pares conjugados, por lo tanto, la otra raíz debe ser

[matemáticas] z = \ dfrac {1} {2} – \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} i \ tag * {} [/ matemáticas]

Answer 2

La ecuación dada es …

[matemáticas] \ grande \ en caja {z ^ 3 = -1} [/ matemáticas]

Esta ecuación se puede escribir como …

[matemáticas] \ large \ boxed {z ^ 3 = cos (2nπ + π) + isin (2nπ + π) \ Rightarrow z = [cos (2nπ + π) + isin (2nπ + π)] ^ {\ frac {1 } {3}} \ Rightarrow z = [cos \ frac {2nπ + π} {3} + isin \ frac {2nπ + π} {3}], n = 0,1,2} [/ matemáticas]

Para [matemáticas] \ large \ boxed {n = 0 \ Rightarrow z = cos (\ frac {π} {3}) + isin (\ frac {π} {3}) = \ frac {1} {2} (1 + i \ sqrt {3})} [/ matemáticas]

Para [math] \ large \ boxed {n = 1 \ Rightarrow z = cos (π) + isin (π) = -1} [/ math]

Para [matemáticas] \ large \ boxed {n = 2 \ Rightarrow z = cos (\ frac {5π} {3}) + isin (\ frac {5π} {3}) = cos (2π- \ frac {π} { 3}) + isin (2π- \ frac {π} {3}) = cos \ frac {π} {3} -isin \ frac {π} {3} = \ frac {1} {2} (1-i \ sqrt {3})} [/ math]

Por lo tanto, las soluciones requeridas son …

[matemática] \ grande \ en caja {z = -1, \ frac {1} {2} (1 ± i \ sqrt {3})} [/ matemática]

Answer 3

[matemáticas] z ^ 3 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 3 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (z + 1) (z ^ 2 – z + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (z + 1) (z – \ frac {1 – i \ sqrt {3}} {2}) (z – \ frac {1 + i \ sqrt {3}} {2}) = 0 [/ matemáticas]
usa la fórmula cuadrática para las otras dos soluciones
[matemáticas] z = -1, \ frac {1 + i \ sqrt {3}} {2}, \ frac {1 – i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Answer 4

Un rápido vistazo a las respuestas indica que la mayoría ha resuelto el cúbico directamente, lo que tiene sentido ya que es un factor.

También podemos usar la identidad de Euler [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas] y la fórmula de Euler [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sen x. [/ Matemáticas] Para múltiples raíces, necesitamos la identidad de Euler para el poder [matemático] 2k [/ matemático], [matemático] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ matemático] para entero [matemático] k. [/ matemático] Poniendo todo eso junto ,

[matemáticas] z = (-1) ^ {\ frac 1 3} = (e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki}) ^ {\ frac 1 3} = e ^ {i \ frac \ pi 3 (1 + 2k)} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = \ cos \ dfrac {\ pi (1 + 2k)} {3} + i \ sin \ dfrac {\ pi (1 + 2k)} {3} [/ matemáticas]

Debido a que agregar múltiplos de [math] 2 \ pi [/ math] al ángulo no cambia nada, solo hay tres [math] z [/ math] s únicos, dados por tres [math] k [/ math consecutivos ] s, digamos -1, 0 y 1.

[matemáticas] z = \ cos (- \ pi / 3) + i \ sin (- \ pi / 3) = \ cos (\ pi / 3) – i \ sin (\ pi / 3) = \ dfrac 1 2 – i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = \ cos (\ pi / 3) + i \ sin (\ pi / 3) = \ dfrac 1 2 + i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = \ cos \ pi + i \ sin \ pi = -1 [/ matemáticas]

Answer 5

z ^ 3 = -1 o

z ^ 3 + 1 = 0. Esto se puede factorizar como

(z + 1) (z ^ 2 – z +1) = 0.

Entonces, un valor de z = -1 que has observado. Ahora para encontrar los otros dos valores, resolvemos la ecuación cuadrática, (z ^ 2 – z +1) = 0.

z = {+1 (+/-) [1 ^ 2 – 4.1.1] ^ 0.5} / 2

z1 = {+1 + [1 ^ 2 – 4.1.1] ^ 0.5} / 2 = {1 + (- 3) ^ 0.5} / 2

z2 = {+1 – [1 ^ 2 – 4.1.1] ^ 0.5} / 2 = {1 – (- 3) ^ 0.5} / 2.

Entonces las tres raíces son -1, {1 + (- 3) ^ 0.5} / 2 y {1 – (- 3) ^ 0.5} / 2.

Answer 6

Cualquier número complejo [math] x + iy [/ math] puede escribirse en coordenadas polares como [math] re ^ {i \ theta} [/ math]. En el caso de [math] z = -1 [/ math], esto tiene [math] r = 1 [/ math], [math] \ theta = n \ pi [/ math] donde n es cualquier número entero impar. La raíz cúbica se encuentra tomando la raíz cúbica positiva de [math] r [/ math], en este caso [math] 1 [/ math], y dividiendo el ángulo [math] \ theta [/ math] por [math] 3 [/ matemáticas]. Entonces, todas las raíces son [matemáticas] z = e ^ {en \ pi / 3} [/ matemáticas], donde [matemáticas] n [/ matemáticas] es impar. Para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], obtienes [matemáticas] e ^ {i \ pi / 3} = \ cos \ pi / 3 + i \ sin \ pi / 3 = (1+ \ sqrt {3} ) / 2 [/ matemáticas]. Para [matemática] n = 3 [/ matemática], obtienes [matemática] -1 [/ matemática], para [matemática] n = -1 [/ matemática], obtienes [matemática] (1- \ sqrt {3} ) / 2 [/ matemáticas]. Todas las demás [matemáticas] n [/ matemáticas] impares simplemente reproducen estas 3 raíces.

Answer 7

Editar: veo mucha factorización de raíces en las otras soluciones. Aquí hay un método alternativo para resolver usando formas polares (:

Escriba z en la forma polar, es decir, z = | z | e ^ ( j * phi) donde j : número imaginario (las matemáticas y la física tienden a usar i pero la ingeniería usa j ) y phi es la fase, que va de -pi a pi

z ^ 3 = | z | ^ 3 * e ^ ( j * 3 * phi) = -1 = 1 * e ^ ( j * pi)

Pero como la fase se ajusta a 2pi, | z | ^ 3 * e ^ ( j * 3 * phi + 2 k * pi) = 1 * e ^ ( j * pi)

| z | = 1 y 3 * phi + 2 k * pi = pi

Para k = 0, phi = pi / 3 => z = 1e ^ ( j * pi / 3) = 1/2 + j * sqrt (3) / 2 (doy en forma polar y rectangular)

Para k = -1, phi = pi => z = 1e ^ ( j * pi) = -1 (aquí está su raíz z = -1)

Para k = 1, phi = -pi / 3 => z = 1e ^ (- j * pi / 3) = 1/2 – j * sqrt (3) / 2

Ta-da. Para su información, los valores de k se eligen para mantener phi dentro del rango de -pi a pi.

Answer 8

Z ^ 3 = -1 »z ^ 3 + 1 = 0» (z + 1) (z ^ 2 -z +1) = 0

»Entonces (z + 1) = 0 da z = -1

»Z ^ 2-z + 1 = 0 resolviendo la cuadrática usando la fórmula cuadrática, obtenemos

Z = [2 + -sqrt (z ^ 2 – 4z ^ 2)] / 2 »z = [2 + -¡ (sqrt3) z] / 2

Estos son los tres valores de z.

Answer 9

z ^ 3 + 1 = 0

(z + 1) (z ^ 2-z + 1) = 0

Si z + 1 = 0

z = -1

si z²-z + 1 = 0

z = {1 ± √ (1–4)} / 2

z = 1/2 ± √-3/2

z = 1/2 ± √3i / 2

entonces tenemos tres valores

-1, 1/2 + √3i / 2, 1/2-√3i / 2

Ans

Answer 10

Aquí vamos:

z ^ 3 + 1 = 0

(z + 1) (z ^ 2-z + 1) = 0

Entonces, z = -1 o z ^ 2-z + 1 = 0

Si z ^ 2-z + 1 = 0, use la fórmula de raíces cuadráticas.

(1 + – (√ (1–4)) / 2

Answer 11

La ecuación mencionada anteriormente tiene una solución real y dos soluciones complejas. Aquí está la solución para ayudarlo a obtener los tres

Answer 12

Los poderes se hacen más fácilmente en coordenadas polares.

Cubicando un número complejo cubica la magnitud y triplica el ángulo.

Necesitamos que la magnitud en cubos sea 1

Necesitamos que el ángulo se triplique para estar a lo largo del eje x negativo (un múltiplo impar de pi)

Entonces

z = 1 ángulo pi / 3,

z = 1 ángulo pi (-1),

z = 1 ángulo 5pi / 3, etc.

Answer 13

Realmente me gusta usar el teorema de De Moivre porque parece muy lógico sin emplear ninguna matemática avanzada.

Answer 14

x ^ 3 + 1 = (x + 1) * (x ^ 2-x + 1) = 0, luego resuelva el

Segundo soporte por fórmulas Delta.

Answer 15

z³-1 = 0

(z-1) (z² + z + 1) = 0

z = 1

o z = ½ (-1 ± i√5)