Cómo simplificar [matemáticas] \ displaystyle \ prod \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ n) \ prod \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac 1 {(1- q ^ {5n-1}) (1-q ^ {5n-4})} [/ matemáticas]

Answer 1

Los productos infinitos en la pregunta convergen solo para [math] | q | <1 [/ math], podemos suponer [math] | q | <1 [/ math].

Reclamación: [matemáticas] \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ n) \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(1-q ^ {5n- 1}) (1-q ^ {5n-4})} = \ sum _ {- \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ nq ^ {\ frac {5n ^ 2} {2} + \ frac { n} {2}}. [/ matemáticas]

Prueba: como el conjunto de números naturales es la unión disjunta de los conjuntos [math] \ {5n: n \ in \ mathbb {N} \} [/ math], [math] \ {5n-1: n \ in \ mathbb {N} \} [/ math], [math] \ {5n-2: n \ in \ mathbb {N} \} [/ math], [math] \ {5n-3: n \ in \ mathbb { N} \} [/ math] y [math] \ {5n-4: n \ in \ mathbb {N} \} [/ math] podemos escribir el producto infinito [math] \ prod_ {n = 1} ^ { \ infty} (1-q ^ n) [/ math] como el producto de cinco productos infinitos

[matemáticas] \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ n) = \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {5n}) \ prod_ {n = 1 } ^ {\ infty} (1-q ^ {5n-1}) \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {5n-2}) \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {5n-3}) \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {5n-4}). [/ math]

Por lo tanto, [matemática] \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ n) \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(1-q ^ {5n-1 }) (1-q ^ {5n-4})} = \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {5n}) (1-q ^ {5n-2}) (1- q ^ {5n-3}). [/ matemáticas]

De la identidad de triple producto de Jacobi (Ver producto triple de Jacobi – Wikipedia) tenemos para números complejos [matemática] x, y [/ matemática] con [matemática] | x | <1 [/ matemática]

[matemáticas] \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (1-x ^ {2n}) (1 + x ^ {2n-1} y ^ 2) (1+ \ frac {x ^ {2n-1 }} {y ^ 2}) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} x ^ {n ^ 2} y ^ {2n} [/ math]

Sustituyendo [math] x = q ^ {\ frac {5} {2}} [/ math] y [math] y = iq ^ {\ frac {1} {4}} [/ math] en la identidad de triple producto de Jacobi obtener

[matemáticas] \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {5n}) (1-q ^ {5n-2}) (1-q ^ {5n-3}) = \ sum_ { n = – \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ nq ^ {\ frac {5n ^ 2} {2} + \ frac {n} {2}}. [/ math]

Por lo tanto, [matemática] \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ n) \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(1-q ^ {5n-1 }) (1-q ^ {5n-4})} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ nq ^ {\ frac {5n ^ 2} {2} + \ frac {n} {2}} [/ math] que completa la prueba del reclamo.

Answer 2

Ramanujan demostró que el número de particiones de [matemáticas] n [/ matemáticas] en partes [matemáticas] \ equiv \ pm 1 \ pmod {5} [/ matemáticas] es igual al número de particiones de n cuyas partes difieren al menos en 2)

En términos de generar funciones, esto establece

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ ge 0} {\ frac {q ^ {n ^ 2}} {\ prod_ {i = 1} ^ {n} {1-q ^ i}}} = \ frac { 1} {\ prod_ {k \ ge 0} {(1-q ^ {5k + 1}) (1-q ^ {5k + 4})}}. [/ Math]

Al agregar su producto al frente, obtenemos la forma simplificada

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ ge 0} {q ^ {n ^ 2} \ prod_ {i> n} {1-q ^ i}}. [/ matemáticas]

No creo que pueda obtener mucha más cancelación desde aquí.