¿Cuál es el resultado de la siguiente suma [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ displaystyle \ sum_ {m = 1} ^ {k} \ frac {m (m + 1)} {2} [/ math] en términos de [math] n [/ math]?

Answer 1

[matemáticas] S (n) = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ displaystyle \ sum_ {m = 1} ^ {k} \ frac {m (m + 1)} {2} [/ math ]

Tenga en cuenta que habrá dos soluciones, una “algebraica” y una combinatoria.

Primera solución

Considere el operador lineal [math] \ Delta [/ math] que actúa en el espacio de funciones [math] f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {R} [/ math] enviando [math] f (n) [ / math] a [math] \ Delta f (n) = f (n + 1) -f (n) [/ math]. Tomemos nota de las propiedades de este operador que necesitaremos:

1. [matemáticas] Ker (\ Delta) = \ {f (n) \ equiv c | c \ in \ mathbb {R} \} [/ math]
2. [matemática] \ Delta [/ matemática] envía polinomios de grado [matemática] n [/ matemática] a polinomios de grado [matemática] n-1 [/ matemática].

Veamos qué sucede con [matemáticas] S (n) [/ matemáticas] cuando se usa [matemáticas] \ Delta [/ matemáticas].

[matemática] \ Delta S (n) = S (n + 1) -S (n) = \ sum \ limits_ {m = 1} ^ {n + 1} \ frac {m (m + 1)} {2} .[/matemáticas]

Veamos qué sucede con [matemática] \ Delta S (n) [/ matemática] cuando aumentamos [matemática] n [/ matemática] en uno.

[matemática] \ Delta \ Delta S (n) = \ Delta S (n + 1) – \ Delta S (n) = \ frac {(n + 2) (n + 3)} {2} [/ matemática]

Vemos que [matemáticas] \ Delta \ Delta S_n [/ matemáticas] es un polinomio en [matemáticas] n [/ matemáticas] de grado [matemáticas] 2 [/ matemáticas], lo que significa que [matemáticas] S (n) [/ math] es un polinomio de grado [math] 4 [/ math]. Podríamos usar esto para encontrar [matemática] S (n) [/ matemática] conectando los valores [matemáticos] 5 [/ matemáticos] y resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. En nuestro caso, sin embargo, es fácil adivinar la solución.

Mirando [matemáticas] \ frac {(n + 2) (n + 3)} {2} [/ matemáticas] y la acción de [matemáticas] \ Delta [/ matemáticas], no es difícil adivinar que [matemáticas] \ Delta S (n) = \ frac {(n + 1) (n + 2) (n + 3)} {3 * 2} + c. [/ Math] Además, se puede comprobar a mano que [math] c = 0. [/ matemáticas]

De manera similar, podemos adivinar que [matemáticas] S (n) = \ frac {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} {4 * 3 * 2} + c [/ matemáticas]. El término constante es, nuevamente, cero.

Esto significa que [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ displaystyle \ sum_ {m = 1} ^ {k} \ frac {m (m + 1)} {2} = \ frac {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} {24} [/ matemáticas].

El método que utilizamos es bastante genérico y permite encontrar expresiones explícitas para una serie de series integrales, incluyendo [math] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} k ^ p [/ math].

Segunda solución

Analicemos la expresión aún más:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ displaystyle \ sum_ {m = 1} ^ {k} \ frac {m (m + 1)} {2} = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ displaystyle \ sum_ {m = 1} ^ {k} \ displaystyle \ sum_ {p = 1} ^ {m} p = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ displaystyle \ sum_ {m = 1} ^ {k} \ displaystyle \ sum_ {p = 1} ^ {m} \ displaystyle \ sum_ {t = 1} ^ {p} 1 [/ math].

Ahora reconozcamos instantáneamente esto como [matemáticas] {n + 3 \ elegir 4} [/ matemáticas] usando la siguiente consideración:

1. Vamos a elegir cuatro bolas, comenzando por la que tenga el mayor número.
2. La primera bola puede ser cualquier bola desde [matemáticas] 4 [/ matemáticas] a [matemáticas] n + 3 [/ matemáticas]. Digamos que es el número [matemáticas] k + 3 [/ matemáticas].
3. La segunda bola puede ser cualquier bola desde [matemáticas] 3 [/ matemáticas] a [matemáticas] k + 2 [/ matemáticas]. Digamos que es el número [matemáticas] m + 2 [/ matemáticas].
4. La tercera bola puede ser cualquier bola desde [matemáticas] 2 [/ matemáticas] a [matemáticas] m + 1 [/ matemáticas]. Digamos que es el número [matemáticas] p + 1 [/ matemáticas].
5. La cuarta bola puede ser cualquier bola desde [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] p [/ matemáticas]. Digamos que es el número [matemáticas] t [/ matemáticas].
6. Si contamos todas las posibilidades, obtendremos precisamente [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ displaystyle \ sum_ {m = 1} ^ {k} \ displaystyle \ sum_ {p = 1} ^ { m} \ displaystyle \ sum_ {t = 1} ^ {p} 1 [/ math]
7. Esto significa que nuestra expresión original es [matemáticas] {n + 3 \ elegir 4} = \ frac {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} {24} [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle \ quad \ sum_ {k = 1} ^ n \ sum_ {m = 1} ^ k \ frac {m (m + 1)} 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k = 1} ^ n \ sum_ {m = 1} ^ k \ left (\ frac12 m ^ 2 + \ frac12 m \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k = 1} ^ n \ left (\ frac12 \ left (\ frac {k (k + 1) (2k + 1)} 6 \ right) + \ frac12 \ left (\ frac {k (k + 1)} 2 \ right) \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k = 1} ^ n \ left (\ frac16k ^ 3 + \ frac12k ^ 2 + \ frac13k \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac16 \ left (\ frac {n (n + 1)} 2 \ right) ^ 2 + \ frac12 \ left (\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} 6 \ right) + \ frac13 \ left (\ frac {n (n + 1)} 2 \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac1 {24} n ^ 4 + \ frac14n ^ 3 + \ frac {11} {24} n ^ 2 + \ frac14n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac1 {24} n (n + 1) (n + 2) (n + 3) [/ matemáticas]

Answer 3

Usamos la identidad

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {m = 1} ^ n {m \ elegir k} = {n + 1 \ elegir k + 1} [/ matemáticas],

válido para cualquier número entero fijo [math] k \ ge 0 [/ math].

Así

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ displaystyle \ sum_ {m = 1} ^ k \ dfrac {m (m + 1)} {2} = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ displaystyle \ sum_ {m = 1} ^ k {m + 1 \ choose 2} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n {k + 2 \ elegir 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] = {n + 3 \ elegir 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {(n + 3) (n + 2) (n + 1) n} {24} [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 4

Aquí hay muchas respuestas realmente geniales que van desde una fuerza bruta realmente elegante hasta un poco bruta. Aquí hay uno que es computacional.

Cuando sumas algo cuadrático, obtienes algo cúbico, y cuando sumas algo cúbico, obtienes algo cúbico. Entonces, sabemos que la respuesta debe ser un polinomio de cuarto grado en [matemáticas] n [/ matemáticas] que podemos escribir como [matemáticas] an ^ 4 + bn ^ 3 + cn ^ 2 + dn + e = f (n) [/ matemáticas]. De hecho, sabemos que [matemática] f (0) = 0 [/ matemática] entonces [matemática] e = 0 [/ matemática], y nos quedan 4 coeficientes indeterminados. Todo lo que necesitamos hacer para encontrarlos es evaluar [matemática] f (1) [/ matemática], [matemática] f (2) [/ matemática], [matemática] f (3) [/ matemática] y [matemática] f (4) [/ matemáticas]. Los escribimos en términos de los 4 coeficientes para obtener un sistema lineal de 4 ecuaciones y 4 incógnitas que pueden resolverse utilizando cualquier cantidad de técnicas de álgebra lineal.

[matemáticas] f (1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (2) = 1 + 1 + 3 = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (3) = 1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 6 = 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (4) = 1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 6 + 1 + 3 + 6 + 10 = 35 [/ matemáticas]

Entonces las ecuaciones se convierten en:

[matemáticas] a + b + c + d = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16a + 8b + 4c + 2d = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] 81a + 27b + 9c + 3d = 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] 256a + 64b + 16c + 4d = 35 [/ matemáticas]

Aquí hay una línea de código Matlab / Octave para resolver el sistema:

coeffs = ratas (inv (bsxfun (@power, [1: 4] ‘, fliplr (1: 4))) * [1 5 15 35]’);

El resultado es

coeffs =

1/24
1/4
24/11
1/4

Entonces, aprendemos que la respuesta, en función de [math] n [/ math], viene dada por:

[matemáticas] f (n) = \ frac 1 {24} n ^ 4 + \ frac 1 {4} n ^ 3 + \ frac {11} {24} n ^ 2 + \ frac 1 {4} n [/ matemáticas ]

Algunos factores de verificación verifican:

[matemáticas] f (n) = \ frac {n (n + 3) (n + 2) (n + 1)} {24} [/ matemáticas]

Answer 5

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ sum_ {m = 1} ^ k \ frac {m (m + 1)} {2} = \ frac {n (n + 1) (n + 2 ) (n + 3)} {24} [/ matemáticas]

Answer 6

Cuando sumas m + 1, eliges 2, obtienes m + 2, eliges 3, y cuando sumas eso, obtienes m + 3, eliges 4