Deje que el homomorfismo sea [math] \ phi: \ mathcal D_ {1801} \ to U (\ mathbb Z_ {1801}) [/ math] mientras el grupo diédrico tiene generadores [math] r [/ math] y [math] s [/ math] como ya se mencionó en la pregunta. Como [math] 1801 [/ math] es primo, el grupo de unidades [math] U (\ mathbb Z_ {1801}) [/ math] tiene orden [math] 1800 [/ math]. (Tenga en cuenta que [math] \ overline {0} [/ math] es el único elemento del anillo [math] \ mathbb Z_ {1801} [/ math], que no tiene un inverso multiplicativo, por lo que no pertenece a el grupo de unidades [math] U (\ mathbb Z_ {1801}) [/ math]. De nuevo, la razón de esto es que [math] 1801 [/ math] es primo).
El subgrupo de [math] \ mathcal D_ {1801} [/ math] generado por [math] r [/ math], es decir, [math] \ langle r \ rangle [/ math], tiene orden [math] 1801 [/ math ] Debido a eso, el orden del núcleo del homomorfismo [matemática] \ izquierda. \ Phi \ derecha | _ {\ langle r \ rangle}: \ langle r \ rangle \ to U (\ mathbb Z_ {1801}), r ^ n \ mapsto \ phi (r ^ n) [/ math] tiene que dividir [math] 1801 [/ math] por el teorema de Lagrange. Por lo tanto, solo hay dos posibilidades para el orden del núcleo de [math] \ left. \ Phi \ right | _ {\ langle r \ rangle} [/ math]: [math] 1 [/ math] y [math] 1801 [/ math], debido a la primalidad de [math] 1801 [/ math]. No puede haber un homomorfismo con [math] \ operatorname {ker} (\ left. \ Phi \ right | _ {\ langle r \ rangle}) = \ {1 \} \, [/ math] como debería ser inyectivo Entonces [math] \ # \ operatorname {ker} (\ left. \ Phi \ right | _ {\ langle r \ rangle}) = 1801 \, [/ math], es decir [math] \ operatorname {ker} (\ left . \ phi \ right | _ {\ langle r \ rangle}) = \ langle r \ rangle \, [/ math] con [math] \ phi (r) = \ phi (r ^ n) = \ overline {1} \, [/ math] para todos [math] n> 0 \, [/ math], donde [math] \ overline {x} \, [/ math] denota la clase de residuo del módulo [math] x [/ math] [matemáticas] 1801 [/ matemáticas].
Como [math] s [/ math] tiene orden [math] 2 [/ math] el elemento [math] s [/ math] está mapeado para que tenga orden [math] 1 [/ math] o [math] 2 [/ matemáticas]. Solo hay un elemento en [math] U (\ mathbb Z_ {1801}) [/ math] con el orden [math] 2 [/ math], el elemento [math] \ overline {1800} = \ overline {-1} [/ math] y [math] \ overline {1} [/ math] como elemento único con el orden [math] 1 [/ math].
Por lo tanto, los únicos homomorfismos posibles [matemática] \ matemática D_ {1801} \ a U (\ mathbb Z_ {1801}) [/ matemática] son
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A) el trivial [math] \ phi_1 [/ math] con [math] \ phi_1 (r) = \ phi_1 (s) = \ overline {1} [/ math], es decir, [math] \ operatorname {ker} (\ phi_1) = \ mathcal D_ {1801} [/ math], y
B) [math] \ phi_2 [/ math] con [math] \ phi_2 (r) = \ overline {1}, \ phi_2 (s) = \ overline {-1} [/ math], es decir [math] \ operatorname {ker} (\ phi_2) = \ langle r \ rangle [/ math].
Editar:
Hay una forma mucho más corta de demostrar que estos dos son los únicos homomorfismos.
El núcleo de un homomorfismo grupal debe ser un subgrupo normal . Por supuesto, todo el grupo es normal en sí mismo y da (como siempre) el homomorfismo trvial [matemáticas] \ phi_1 [/ matemáticas].
Como [math] \ langle r \ rangle [/ math] tiene el índice [math] 2 [/ math] este subgrupo es apropiado y también normal (cada subgrupo del índice 2 es normal). Por lo tanto, puede existir un homomorfismo con este subgrupo como núcleo, lo que da en este caso el homomorfismo [math] \ phi_2 [/ math]. Hay que tener en cuenta que [math] \ {\ overline {1}, \ overline {-1} \} [/ math] es el único subgrupo de orden [math] 2 [/ math] en [math] U (\ mathbb Z_ {1801)}) [/ math]. Si hubiera otros subgrupos de orden 2, existirían otros homomorfismos con este núcleo y estos subgrupos como objetivos.
Solo hay otro subgrupo apropiado en [math] \ mathcal D_ {1801} [/ math]: el subgrupo [math] \ {1, s \} [/ math], que no es normal como [math] rs \ not = sr. [/ math] (en cualquier grupo diédrico [math] \ mathcal D_ {n} [/ math] con [math] n> 2 [/ math] es [math] rs \ not = sr [/ math]. Por lo tanto, el subgrupo [matemática] \ {1, s \} [/ matemática] no puede ser normal ya que el centralizador de un subgrupo de orden 2 es igual al normalizador, por lo que para un subgrupo normal debe ser todo el grupo, es decir, [matemática] s [/ math] tiene que conmutar con cualquier otro elemento, pero este no es el caso).
Esta prueba funciona para cualquier [matemática] D_ {n} [/ matemática] con [matemática] n> 2 [/ matemática] primo. Si el grupo objetivo no tiene un subgrupo de orden 2 o es isomorfo a [matemática] D_ {n} [/ matemática], el único homomorfismo es el trivial. Si tiene varios subgrupos de orden 2, cada uno de estos subgrupos corresponde a un homomorfismo diferente.