¿Cómo se decide la raíz cuadrada de un número negativo?

Answer 1

Una raíz cuadrada de cualquier objeto algebraico, [matemática] y [/ matemática], es otro objeto algebraico, [matemática] x [/ matemática], tal que:

[matemáticas] \ quad x ^ 2 \ equiv x \ veces x = y [/ matemáticas]

En algunos contextos, escribimos [math] x = y ^ {\ frac12} [/ math] o [math] x = \ sqrt y [/ math] y podemos tener convenciones para asegurarnos de que estas expresiones tengan un valor único más de una [matemática] x [/ matemática] satisfactoria [matemática] x ^ 2 = y [/ matemática].

La raíz cuadrada de los números negativos causa cierta confusión porque para cualquier [matemática] 0> y \ in \ mathbb R, \ not \ exist x \ in \ mathbb R \ colon x ^ 2 = y [/ math]. Sin embargo, hemos inventado pares ordenados de [math] \ mathbb R [/ math] en los que:

[matemáticas] \ quad (0,1) \ veces (0,1) = (- 1,0) [/ matemáticas]

Inyectando inteligentemente números en estos pares ordenados usando la equivalencia simple [math] x \ equiv (x, 0) [/ math] encontramos que los números negativos tienen una raíz cuadrada en estos pares ordenados, a saber:

[matemáticas] \ quad (0, \ sqrt {-y}) ^ 2 = (y, 0) \ equiv y [/ matemáticas]

Mientras hablemos de pares ordenados, la gente está bien. Introduzca una abreviatura de [math] i \ equiv (0,1) [/ math] y

[matemáticas] \ quad (x, y) \ equiv x + iy [/ matemáticas]

sin embargo, y la gente se asustará con los llamados números “imaginarios” y se lanzará contra [math] i = \ sqrt {-1} [/ math].

Estos pares ordenados resultan ser extraordinariamente útiles, algebraicamente completos y muy importantes. Tienen su propio símbolo, [math] \ mathbb C [/ math]. Me gusta llamarlos números cardaneanos [1], pero generalmente se los llama números complejos a pesar de que son mucho menos complejos que, por ejemplo, Matrices.

[math] \ mathbb C [/ math] es una consecuencia muy natural del álgebra y su estructura da la impresión de estar simplemente “afuera” en lugar de ser inventado. [math] \ sqrt {-4} \ equiv \ sqrt {(- 4,0)} = (0, \ pm2) \ equiv \ pm2i [/ math] casi se nos impone en lugar de ser “decidido” …

Notas al pie

[1] La respuesta de Alan Bustany a ¿Qué propones como mejores nombres para los números “reales” y “complejos”? ¿Con qué nombres podríamos reemplazarlos en los próximos siglos?

Answer 2

Para todas las raíces cuadradas de números reales negativos, no existe una solución real. Esto se debe a que incluso un negativo por un negativo sigue siendo positivo. Aquí es donde entran en juego los números complejos: la unidad imaginaria.

La unidad imaginaria, [matemática] i [/ matemática], es la misma que [matemática] \ sqrt {-1} [/ matemática]. Por lo tanto, [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas].

Si desea determinar [math] \ sqrt {-16} [/ math], debe calcular una raíz cuadrada normal de 16 positivo y luego multiplicarlo por [math] i [/ math].

Entonces, [matemáticas] \ sqrt {-16} = 4i [/ matemáticas].

[math] i [/ math] es un número complejo, porque no es real. También es imaginario, y es por eso que usamos la letra “i” para “imaginario” para representarlo.

La recta numérica real puede considerarse como una línea horizontal con valores positivos y negativos. La línea numérica compleja o imaginaria puede considerarse como una línea vertical con todos los valores complejos positivos y negativos. Ambas líneas pasan por 0, como un gráfico.

Answer 3

Si el número es -n, n∈ | R y

(i) si n NO ES UN CUADRADO PERFECTO √ (-n) = (√-1) × √n = i (√n)

(ii) si n = k², es decir, ES UN CUADRADO PERFECTO, √ (-n) = √ (-k²) = (√-1) (√k²) = ik = ki

Answer 4

Si piensa en los números como un círculo, 0 es positivo, 90 es imaginario, 180 es negativo y 270 es imaginario negativo.

Entonces, cuando sacas la raíz cuadrada de un número, raíz cuadrada del número real y la mitad del ángulo.

Entonces

4∠180 ^ 0.5 es sqrt (4) ∠180 / 2 o 2∠ 90 o 2i.

o como es posible que ya estés una vez alrededor del círculo, podría ser

4∠360 + 180 o 4∠540

sqrt (4) ∠540 / 2 = 2∠270 o -2i

La raíz cuadrada de cualquier número negativo tiene dos respuestas posibles. Lo que te enseñaron en Álgebra 1 con sqrt (-1) siendo i es solo parcialmente correcto.

Answer 5

En algún momento en el pasado distante, uno de nuestros antepasados ​​matemáticos decidió que teníamos que pensar en las raíces cuadradas de los números negativos.

Finalmente, todos los que estuvieron de acuerdo estuvieron de acuerdo en que la raíz cuadrada de uno negativo, [math] \ sqrt {-1} [/ math], se conocería para siempre como i . El símbolo i proviene de la palabra imaginario , porque estos números no existen en el mundo real.

Y, de forma similar a cómo ambos +2 y -2 son raíces cuadradas de 4, tanto + i como – i son raíces cuadradas de -1, pero i es la raíz cuadrada primaria, i = [matemáticas] \ sqrt {-1} [ / math], mientras que -i es la raíz cuadrada secundaria.

Entonces, cuando se nos pide [math] \ sqrt {-4} [/ math], separamos el -1 de esta manera:

• [matemáticas] \ sqrt {-4} /, = /, \ sqrt {4 \, \ cdot \, -} \, = \, \ sqrt4 \, \ cdot \, \ sqrt {-1} \, = \, 2 \, \ cdot \, i \, = \, 2i [/ math]
• con una respuesta secundaria de -2i .

Esta es una respuesta muy simple a su pregunta. Para obtener más detalles, puede obtener mucha información aquí sobre Quora y en la unidad Imaginary – artículo de Wikipedia.

Answer 6

[math] \ surd: \ mathbb {R} _ {\ leq 0} \ to \ mathbb {C} [/ math]

[matemáticas] x \ mapsto \ sqrt {-x} i [/ matemáticas]

Entonces el coeficiente es un real positivo.

Answer 7

Un número negativo tiene dos raíces cuadradas indistinguibles (imaginarias). Decidimos arbitrariamente que el que tiene el argumento menos positivo es la raíz cuadrada (raíz cuadrada principal).

Por lo tanto, [math] -1 [/ math] tiene [math] i [/ math] y [math] -i [/ math] como raíces cuadradas, pero decimos que [math] i [/ math] es la que tiene argumento [matemática] \ frac {\ pi} 2 [/ matemática] y [matemática] -i [/ matemática] es la que tiene argumento [matemática] \ frac {3 \ pi} 2 [/ matemática] y por lo tanto [matemática] i [/ math] es “la” raíz cuadrada.

Answer 8

Si desea utilizar números reales, no está definido. Sin embargo, si quisieras usar números complejos, podrías tomar la raíz cuadrada del número (excluyendo el signo negativo) y multiplicarlo por el número imaginario i, que es la raíz cuadrada de -1. Cada raíz cuadrada de un número negativo es la raíz cuadrada de la parte del número multiplicada por i

Answer 9

Tome la raíz cuadrada de su valor absoluto y multiplique por + i o -i.

por ejemplo, suponga que desea la raíz cuadrada de -3. Primero, encuentra la raíz cuadrada de 3, que es aproximadamente 1.732. Entonces la raíz cuadrada de -3 es 1,732 * i, o su negativo.

Answer 10

La raíz cuadrada de cualquier número negativo es un número imaginario. Significa que no existe.