Si [math] (xa) [/ math] es un factor de [math] (x ^ 4-5x ^ 3-21x ^ 2-23x-8) [/ math], entonces, ¿qué es [math] a [/ math ]?

Answer 1

No es difícil descubrir que [math] (x – (- 1)) [/ math] es un factor ya que el teorema del Factor nos dice que solo necesitamos conectar [math] x = -1 [/ math] a el polinomio un cheque para ver que se evalúa a cero. Como los coeficientes de los términos de grados pares se suman a [matemáticas] -28 [/ matemáticas] y los coeficientes de los términos de grados impares se suman también a [matemáticas] -28 [/ matemáticas], podemos confirmar fácilmente que [matemáticas] a = -1 [/ math] es una respuesta a su pregunta.

Se necesita un poco más de atención (o algo de ayuda computacional) para verificar que [math] (x-8) [/ math] también sea un factor. Podemos confirmarlo de la siguiente manera usando el hecho de que [matemática] 8 = 2 ^ 3 [/ matemática] y conectando [matemática] x = 8 [/ matemática] en el polinomio.

[matemáticas] x ^ 4-5x ^ 3-21x ^ 2-23x-8 = 2 ^ {12} -5 \ cdot 2 ^ 9 -21 \ cdot 2 ^ 6-23 \ cdot 2 ^ 3-2 ^ 3 [ /matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ {12} -5 \ cdot 2 ^ 9 -21 \ cdot 2 ^ 6-24 \ cdot 2 ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ {12} -5 \ cdot 2 ^ 9 -21 \ cdot 2 ^ 6-3 \ cdot 2 ^ 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ {12} -5 \ cdot 2 ^ 9 -24 \ cdot 2 ^ 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ {12} -5 \ cdot 2 ^ 9 -3 \ cdot 2 ^ 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ {12} -8 \ cdot 2 ^ 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 0 [/ matemáticas]

Entonces ahora tenemos dos respuestas: [matemáticas] a = -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 8 [/ matemáticas].

Luego podemos factorizar estos dos términos del polinomio original (usando un poco de álgebra de división polinómica o simplemente un sistema de álgebra de computadora para mostrar que:

[matemáticas] x ^ 4-5x ^ 3-21x ^ 2-23x-8 = (x-8) (x – (- 1)) (x ^ 2 + 2x + 1) [/ matemáticas]

El último factor cuadrático se reconoce fácilmente como el cuadrado de [matemáticas] (x + 1) [/ matemáticas] y vemos que todo el polinomio se puede escribir:

[matemáticas] x ^ 4-5x ^ 3-21x ^ 2-23x-8 = (x-8) (x – (- 1)) ^ 3 [/ matemáticas]

Y ahora vemos que no hay otros valores de [matemáticas] a [/ matemáticas] además de [matemáticas] 8 [/ matemáticas] y [matemáticas] -1 [/ matemáticas] que responden a su pregunta.

Answer 2

(x⁴-5x³-21x²-23x-8)

= x⁴ + x³-6x³-6x²-15x²-15x-8x-8

= x³ (x + 1) -6x² (x + 1) -15x (x + 1) -8 (x + 1)

= (x + 1) (x³-6x²-15x-8)

= (x + 1) (x³ + x²-7x²-7x-8x-8)

= (x + 1) {x² (x + 1) -7x (x + 1) -8 (x + 1)}

= (x + 1) (x + 1) (x²-7x-8)

= (x + 1) (x + 1) (x² + x-8x-8)

= (x + 1) (x + 1) {x (x + 1) -8 (x + 1)}

= (x + 1) (x + 1) (x + 1) (x-8)

Entonces tenemos todos los factores para un teorema dado si comparamos (xa) obtenemos

x + 1 = xa, es decir a = -1

o x-8 = xa que es x = 8

QED

Answer 3

Si [math] xa [/ math] es un factor, entonces [math] x = a [/ math] satisfará esta ecuación.

Por lo tanto, [matemáticas] a ^ 4–5a ^ 3–21a ^ 2–23a-8 = 0 [/ matemáticas]

Ahora puedes resolver esta ecuación y obtendrás tu respuesta.

Answer 4

Observe que al sustituir x = -1, el polinomio dado desaparece, por lo tanto, sugiere que (x + 1) se puede sacar común o, en otras palabras, (x + 1) es un factor de esta ecuación polinómica. Por lo tanto, un posible valor de a = -1, al sacar (x + 1) común, obtendrá una ecuación cúbica, que al observar también tiene x + 1 como factor y además el polinomio se reduce a dos grados (es decir, un polinomio cuadrático) que además puede factorizarse como (x + 1) (x-8).

PD: Explicarlo con palabras para que te obligue a escribir las cosas en papel y, si lo escribes tú mismo, lo sentirás mejor.

Espero ser lo suficientemente claro.

Answer 5

Dado (xa) es un factor de f (x) = x ^ 4–5x ^ 3–21x ^ 2–23x-8, por lo tanto, x = a satisface la ecuación.

Por lo tanto, f (a) = 0

es decir, a ^ 4–5a ^ 3–21a ^ 2–23a-8 = 0

Ahora por prueba, ponemos a = -1 y observamos que f (-1) satisface la ecuación

Así (a – (- 1)) es decir (a + 1) es un factor de f (a).

Por lo tanto (a + 1) (a ^ 3–6a ^ 2–15a-8) = 0

Nuevamente poniendo a = -1, tenemos (a ^ 2–7a-8) (a + 1) ^ 2 = 0

Nuevamente poniendo a = -1, tenemos (a-8) (a + 1) ^ 3 = 0

Resolviendo cuál obtenemos a = 8, -1

Answer 6

Simplemente use el teorema del factor “Si (xa) es un factor de f (x), entonces a es cero de f (x)”. Luego resuelve por división sintética. Hay dos posibilidades; ya sea a = -1 con multiplicidad 3 o a = 8 con multiplicidad 1.

Answer 7

La prueba racional de cero dice que cualquier cero (que es lo que es a) es una fracción que tiene la forma p / q

donde p divide el término constante -8 (So 1, 2, 4, 8) y q divide el coeficiente principal 1 (So solo 1).

Los posibles ceros racionales son + – (1, 2, 4, 8)

Conéctese para encontrar los que hacen que la cuarta expresión de potencia sea igual a 0. Estos son los valores que funcionan para a.

Tenga en cuenta que este método no encuentra valores irracionales de ao valores con componentes imaginarios.

Answer 8

sea ​​f (x) = x ^ 4–5x³-21x²-23x-8

f ‘(x) = 4x³-15x²-42x-23 = (x + 1) (4x² + 19x-23) = (x + 1) (x-1) (4x + 23)

f ”(x) = 12x²-30x-42 = 6 (2x²-5x-7) = 6 (x + 1) (2x-7)

∵ f ‘(- 1) = f ”(- 1) = 0 → sucesivo (x + 1) es un factor repetido dos veces de f (x) →

(x + 1) ³ = x³ + 3x² + 3x + 1

f (x) = (x³ + 3x² + 3 x + 1) (x-8)

∴ a = -1 u 8

Answer 9

1. poner x = a, entonces
2. a ^ 4–5a ^ 3–21a ^ 2 – 23a-8 = 0
3. (a + 1) ^ 3 (a-8) = 0
4. a = -1, 8